Fragen zum angeordneten Körper

03.11.2016, 18:40

Shalec

Fragen zum angeordneten Körper

Hallo allerseits,

ich habe eine Frage zu den angeordneten Körpern. Auf einem Übungszettel wird kurz definiert, was ein angeordneter Körper ist. Das deckt sich so ziemlich mit der Einführung hier: https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/...sung/node5.html

Nun sollen alle Beispiele für Mengen $\begin{eqnarray*} P\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ angegeben werden, die diese Axiome erfüllen und man soll begründen, warum P auch "Menge positiver Elemente" genannt wird. Dabei gilt $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in P: a+b\in P, a\cdot b\in P \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Begriff "alle" habe ich so meine Probleme. Eine Familie von möglichen P's sind
$\begin{eqnarray*} P_k:= \{a\in \mathbb R\ :\ a>k\}\ k\in\mathbb R_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ (Edit: Fehler korrigiert)

Alle Mengen, die ausschließlich aus negativen Zahlen bestehen, liefern in der Produktbildung einen Widerspruch.
Alle Mischmengen (negative und positive Elemente) liefern an den Rändern ihre Probleme.
Dann passen noch die ein-elementige Menge $\begin{eqnarray*} P=\{0\} \end{eqnarray*}$ und natürlich die leere Menge nicht.
Existieren noch weitere?

Dann habe ich die Frage: Existieren noch weitere angeordnete Körper?
Betrachte ich endliche Körper liefert mir bereits die Konsequenz aus dem Zornschen Lemma und dem Auswahlaxiom ein Problem für maximale Elemente solcher Teilmengen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a=max(P), b\in P \Rightarrow a+b < a \Rightarrow (a+b)-a=b < a-a = 0 \end{eqnarray*}$ was in den endlichen Körpern idR durch die Moduln ausgeschlossen wird.
Dann existieren noch die rationalen Zahlen als einzige Teilmenge der Reellenzahlen, die einen (sogar abgeschlossenen) Körper bilden.
Alle mehrdimensionale Körper (d.h. z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ) liefern auch keine mögliche Anordnungseigenschaft. Natürlich wird damit auch direkt der Körper der komplexen Zahlen ausgeschlossen.
Gibt es darüber hinaus noch weitere Körper, die die Anordnungseigenschaft erfüllen?

Viele Grüße und vielen Dank.

05.11.2016, 20:30

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat keiner einen Einwand? smile

05.11.2016, 22:00

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Shalec,

Zitat:

Hat keiner einen Einwand? smile

Doch, leider schon. Ich es leider nicht anders ausdrücken, als dass ziemlich wenig von dem, was du schreibst, richtig ist.

Zitat:

Eine Familie von möglichen P's sind
$\begin{eqnarray*} P_k:= \{a\in \mathbb R\ :\ a>k\}\ k\in\mathbb R_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ (Edit: Fehler korrigiert)

.

Keine von diesen Mengen erfüllt (O1) aus deinem Link. In der Tat muss $\begin{eqnarray*} P = \mathbb R_{>0} \end{eqnarray*}$ sein, das folgt sofort daraus, dass einerseits alle Quadrate reeller Zahlen in P liegen müssen (zeigen!) und außerdem (O1).

Zitat:

Betrachte ich endliche Körper liefert mir bereits die Konsequenz aus dem Zornschen Lemma und dem Auswahlaxiom ein Problem für maximale Elemente solcher Teilmengen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$

Warum sollte so eine Teilmenge ein maximales Element haben? Inwiefern ist hier die Voraussetzung des Lemmas von Zorn erfüllt? Das kann man schon nachweisen, ist aber aufwändiger, als einfach direkt einen Widerspruch zu erzeugen. Zum Beispiel kann man zuerst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1\in P \end{eqnarray*}$ gelten muss. Daraus folgt dann mit (O2), dass $\begin{eqnarray*} 1+1,1+1+1,... \end{eqnarray*}$ alle in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegen. Unter diesen Summen muss auch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ enthalten sein, also ist (O1) verletzt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=max(P), b\in P \Rightarrow a+b < a \Rightarrow (a+b)-a=b < a-a = 0 \end{eqnarray*}$ was in den endlichen Körpern idR durch die Moduln ausgeschlossen wird.

Was meinst du denn damit, dass etwas durch Moduln ausgeschlossen sein sollte, das musst du mal näher erleutern verwirrt

Zitat:

Dann existieren noch die rationalen Zahlen als einzige Teilmenge der Reellenzahlen, die einen (sogar abgeschlossenen) Körper bilden.

Das ist falsch, es gibt jede Menge Unterkörper der reellen Zahlen. Um zwei weitere Beispiele zu nennen: $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{2}] := \{x+\sqrt{2}y\: x,y\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ oder der Körper der reellen algebraischen Zahlen. Was meinst du mit dem abgeschlossen sein? Bezüglich der Ordnungstopologie ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sicher nicht abgeschlossen. Falls du meinst, dass er bezüglich Addition und Multiplikation abgschlossen ist, so ist das nicht verwunderlich, denn das ist ein Körper per Definition, ich verstehe also das "sogar" nicht.

Zitat:

Alle mehrdimensionale Körper (d.h. z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ) liefern auch keine mögliche Anordnungseigenschaft.

Was soll ein mehrdimensionaler Körper sein, wie ist Dimension für Körper definiert? $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls auf keine kanonische Weise ein Körper. Wie würdest du darauf überhaupt eine Multiplikation definieren wollen?

Zitat:

Gibt es darüber hinaus noch weitere Körper, die die Anordnungseigenschaft erfüllen?

Zunächst mal eben jeder Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , davon gibt es viele. Das ist zugegebenermaßen alles, was mir selbst dazu eingefallen ist. Weitere Beispiele gibt es hier

11.11.2016, 19:08

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und vielen Dank für die Rückmeldung! Wink

Zitat:

Eine Familie von möglichen P's sind
$\begin{eqnarray*} P_k:= \{a\in \mathbb R\ :\ a>k\}\ k\in\mathbb R_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ (Edit: Fehler korrigiert)

Oh, ich hatte " $\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ " überlesen. Daher ist klar, dass ich keine Lücke zwischen 0 und k lassen darf. Es sind also nur Mengen möglichen, die Elemente $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ enthalten.

Zitat:

Ja, dies ist einfacher zu erkennen. Wenn ich als Modul (so wurde es einst bei uns definiert) ein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ wähle, dann ist $\begin{eqnarray*} p-1\equiv -1 \bmod p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1, -1 \in P \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=max(P), b\in P \Rightarrow a+b < a \Rightarrow (a+b)-a=b < a-a = 0 \end{eqnarray*}$ was in den endlichen Körpern idR durch die Moduln ausgeschlossen wird.

Was meinst du denn damit, dass etwas durch Moduln ausgeschlossen sein sollte, das musst du mal näher erleutern verwirrt

Also die Restklassen wurden Streng durch positive Repräsentanten in einer der Grundvorlesungen definiert. D.h. es existiert keine Äquivalenzklasse, die strikt "<0" erfüllt.

Zitat:

Dann existieren noch die rationalen Zahlen als einzige Teilmenge der Reellenzahlen, die einen (sogar abgeschlossenen) Körper bilden.

Das ist falsch, es gibt jede Menge Unterkörper der reellen Zahlen. Um zwei weitere Beispiele zu nennen: $\begin{eqnarray*} Q[\sqrt{2}] := \{x+\sqrt{2}y\: x,y\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ oder der Körper der algebraischen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb A \end{eqnarray*}$ . Was meinst du mit dem abgeschlossen sein? Bezüglich der Ordnungstopologie ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sicher nicht abgeschlossen. Falls du meinst, dass er bezüglich Addition und Multiplikation abgschlossen ist, so ist das nicht verwunderlich, denn das ist ein Körper per Definition, ich verstehe also das "sogar" nicht.

Auch hier $\begin{eqnarray*} \forall a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ überlesen. Damit ist klar, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ kein solches P sein kann. unglücklich

"sogar abgeschlossen" verwundert mich jetzt auch Big Laugh

(ich prüfe mal die Uhrzeit geschockt

)

Zitat:

Alle mehrdimensionale Körper (d.h. z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ) liefern auch keine mögliche Anordnungseigenschaft.

Komponentenweise. Ich hatte bei der Formulierung viel mehr an die komplexen Zahlen gedacht, die man durchaus als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffassen kann. Analog ließe sich garantiert ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definieren, mit einer nicht komponentenweisen Multiplikation.
Die Anordnungseigenschaft würde aber auch hier nicht sinnvoll definiert werden können.

Zitat:

Gibt es darüber hinaus noch weitere Körper, die die Anordnungseigenschaft erfüllen?

An die hatte ich auch gedacht. Die Beispiele sind zum Teil nicht nachvollziehbar, da unbekannt smile

Aber ich bin sehr zuversichtlich, dass es noch mehr Körper gibt, die diese Eigenschaft erfüllen, sodass es nicht möglich ist, alle diese aufzuzählen. Auch wenn man als $\begin{eqnarray*} \leq = \subseteq \end{eqnarray*}$ ebenfalls zulässt, werden es noch mehr.

Also vielen Dank nochmal für die Rückmeldung smile

Neue Frage »

Antworten »

Fragen zum angeordneten Körper

Verwandte Themen