Inklusionen

04.11.2016, 15:45

Felix1109

Inklusionen

Meine Frage:
Hallo, kann mir jemand sagen ob ich bei der Aufgaben auf dem richtigen Weg bin?

Ich hab gegeben: $\begin{eqnarray*} f: X->Y, A\subset X, A1B1\subset Y \end{eqnarray*}$
Überprüfen sie die folgenden Inklusionen:

$\begin{eqnarray*} f(f^-1(A1))\subset A1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A\subset f^-1(f(A)) \end{eqnarray*}$

Geben sie ein Bsp dafür an, das i.a. keine Gleichheit gilt.

Meine Ideen:
So hab ich jetzt versucht an die erste ran zu gehen:

$\begin{eqnarray*} f(f^-1(A1))\subset A1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^-1(A1)=x\in X: f(x)=A1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x\in X)=y\in A1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in A1\subset A1 \end{eqnarray*}$

05.11.2016, 08:53

Leopold

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Es fehlt einfach alles. Zum Beispiel Text, der erläutert, was die einzelnen Objekte für eine Bedeutung haben, wie die verschiedenen Zeilen zusammenhängen, was überhaupt deine Absicht ist. So geht Mathematik nicht. Vor allem scheinst du überhaupt nicht zu wissen, wie die Begriffe, die verwendet werden, definiert sind. Das sieht man an so etwas wie $\begin{align*} f^{-1}(A_1) = x \in X \end{align*}$ , was eine sinnlose Ansammlung mathematischer Zeichen ist.

Sinn! Sinn! Sinn!

Mathematik hat etwas mit Sinn zu tun. Herumschieben von Zeichen ergibt noch keinen Sinn.

Du solltest dich daher um eine Klärung der Begriffe kümmern. Ich stelle dir einmal zwei Aufgaben. Lege deine Aufzeichnungen aus der Vorlesung, wo es um Bild und Urbild einer Funktion geht, daneben. Und versuche, die Definitionen zu verstehen.

Beispiel 1

$\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ f(x) = x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} A = [-30,4) \end{align*}$

(i) Bestimme $\begin{align*} f^{-1}(A) \end{align*}$ und dann $\begin{align*} f \left( f^{-1}(A) \right) \end{align*}$ .

(ii) Bestimme $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ und dann $\begin{align*} f^{-1} \left( f(A) \right) \end{align*}$ .

Beispiel 2

$\begin{align*} X = \{ \alpha, \beta, \gamma \} \, , \ \ Y = \{ u,v,w \} \end{align*}$

$\begin{align*} f: X \to Y \, , \ \ f( \alpha ) = u , \ f( \beta ) = u, \ f ( \gamma ) = w \end{align*}$

$\begin{align*} A_1 = \{ u,v \} , \ \ A = \{ \beta, \gamma \} \end{align*}$

(i) Bestimme $\begin{align*} f^{-1}(A_1) \end{align*}$ und dann $\begin{align*} f \left( f^{-1}(A_1 \right) \end{align*}$ .

(ii) Bestimme $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ und dann $\begin{align*} f^{-1} \left( f(A) \right) \end{align*}$ .

05.11.2016, 19:41

Felix1109

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Beispiel 1

(i) $\begin{eqnarray*} f^-1(A) = [- ( \sqrt{30} ) , 2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(f^-1(A))=[30, 4) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} f(A)=[900, 16) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^-1(f(A))=[-30, 30] \end{eqnarray*}$

Beispiel 2

(i) $\begin{eqnarray*} f^-1(A_1)= \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(f^-1(A_1)= u \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} f(A)= u, w \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^-1(f(A))= \beta , \gamma \end{eqnarray*}$

05.11.2016, 20:14

Leopold

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Zitat:

Original von Felix1109
Beispiel 1

(i) $\begin{eqnarray*} f^-1(A) = [- ( \sqrt{30} ) , 2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(f^-1(A))=[30, 4) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} f(A)=[900, 16) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^-1(f(A))=[-30, 30] \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Das hättest du doch schon rein äußerlich merken müssen: Bei einem nichtleeren Intervall muß die linke Grenze kleiner als die rechte sein.

Richtig ist $\begin{align*} f^{-1}(A) = (-2,2) \end{align*}$ und $\begin{align*} f \left( f^{-1}(A) \right) = [0,4) \end{align*}$ .
Und weiter ist $\begin{align*} f(A) = [0,900] \end{align*}$ und $\begin{align*} f^{-1} \left( f(A) \right) = [-30,30] \end{align*}$

Und bevor du jetzt fragst, wieso, sage ich dir gleich, daß ich dir diese Frage nicht beantworten werde. Es ist deine (!) Aufgabe, dich mit den Begriffen, die in den Aufgaben vorkommen, zu beschäftigen, insbesondere die Definitionen, hier z.B. die von $\begin{align*} f^{-1}(A) \end{align*}$ , zu lernen. Das muß alles in deinen Vorlesungsunterlagen stehen. Nicht raten, was das bedeuten könnte, sondern nachlesen und lernen, was es bedeutet. Wenn du in der Definition etwas nicht verstehst, darfst du gerne nachfragen. Aber beschäftige dich erst mit der Problematik.

Zitat:

Original von Felix1109
Beispiel 2

(i) $\begin{eqnarray*} f^-1(A_1)= \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(f^-1(A_1)= u \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} f(A)= u, w \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^-1(f(A))= \beta , \gamma \end{eqnarray*}$

Rechts vom Gleichheitszeichen fehlen jeweils Mengenklammern. Ansonsten stimmt (i). (ii) jedoch ist falsch.

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