Ansatzmethode bei konstanter Störfunktion

04.11.2016, 16:31	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatzmethode bei konstanter Störfunktion Hallo, ich soll folgende DGL lösen: $\begin{eqnarray} y"+9y=te^{t}+7 \end{eqnarray}$ Bei der Störfunktion wende ich das Superpositionsprinzip an. Mein Problem ist nun bei der konstanten Störfunktion 7. Im zugrunde liegenden Skript steht folgendes: $\begin{eqnarray} (c_0+c_1t+ ... c_nt^{n})e^{ut} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} p(u) != 0 \end{eqnarray}$ In meinem Fall ist ja $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ und dass ist ja ebenso eine 0-Stelle von p(u), also steht weiter: $\begin{eqnarray} t(c_0+c_1t+ ... c_nt^{n})e^{ut} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} p(u) = 0,p'(u)!=0 \end{eqnarray}$ , also hätte ich diesen Ansatz gewählt. $\begin{eqnarray} x_p=ta \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_p'=a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_p''=0 \end{eqnarray}$ , aber das führt auf eine falsche Aussage. Warum passt dieser Ansatz hier nicht?
04.11.2016, 16:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatzmethode bei konstanter Störfunktion Ungeachtet der didaktischen Besonderheiten Deines Fachgebiets ist festzustellen, dass die Lösung der homogenen Gleichung (welche ist das eigentlich bei Dir?) keine Resonanzterme enthält. Man kann daher den Standard-Ansatz $\begin{align} y_{p}=(at+b)e^{t}+c \end{align}$ für eine spezielle Lösung wählen.
04.11.2016, 17:24	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein $\begin{eqnarray} x_h=c_1cos(3t)+c_2sin(3t) \end{eqnarray}$ Wie sehe ich das mit dem Resonanzterm? Ich kann in meinen Unterlagen hier keine Differenzierung diesbezüglich finden. Oder gilt obiges nur, wenn die DGL folgende Form hat: $\begin{eqnarray} a_2x"+a_1x'+a_0x=f(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1 != 0 \end{eqnarray}$
04.11.2016, 21:00	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Praktiker (Nichtmathematiker) dürfte es genügen zu erkennen, wenn in der Störfunktion Terme stehen, die auch in der Lösung der homogenen Gleichung enthalten sind. Z. B. wenn hier in der Störfunktion cos(3t) oder sin(3t) aufträte. Oder (bei anderer linker Seite): Wenn $\begin{align} te^{t} \end{align}$ oder eine Konstante die homogene Gleichung lösen. Das wäre etwa bei $\begin{align} y''-2y'+y=0 \end{align}$ oder $\begin{align} y''+9y'=0 \end{align}$ der Fall.

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