Komplexe Zahlen in Polarform

04.11.2016, 17:03

Huxi

Komplexe Zahlen in Polarform

Meine Frage:
Hallo,

ich soll Komplexe Zahlen in die Polarform umwandeln, habe auch die Lösung dazu, verstehe in der Lösung aber nicht wie man dazu gekommen ist.

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} 3 +\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$ in die Polarform umwandeln.
Lösung: $\begin{eqnarray*} 3 +\sqrt{3}i = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}/2 + 1/2 i) = 2\sqrt{3}(\cos(\pi/6) + \sin(\pi/6)i) = 2\sqrt{3}e^{i(\pi/6)} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz:
die Berechenung in die Polarform mache ich mit dieser Formel:
$\begin{eqnarray*} z = r(\cos(\gamma ) + \sin(\gamma )i) = e^{i\pi } \end{eqnarray*}$

1. Problem: Wie kommt man auf: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}/2 + 1/2 \end{eqnarray*}$ ?
2. Problem: Wie kommt man auf: $\begin{eqnarray*} \pi/6 \end{eqnarray*}$

04.11.2016, 17:40

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen in Polarform

Zitat:

Wie kommt man auf: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}/2 + 1/2 \end{eqnarray*}$ ?

Da haben die nur $\begin{align*} 2\sqrt{3} \end{align*}$ aus $\begin{align*} 3 +\sqrt{3}i \end{align*}$ ausgeklammert.

Zitat:

Wie kommt man auf: $\begin{eqnarray*} \pi/6 \end{eqnarray*}$

Wie immer: $\begin{align*} \arctan \left( \frac {\sqrt{3}}3 \right) \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

04.11.2016, 17:46

Leopold

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RE: Komplexe Zahlen in Polarform
Für jedes $\begin{align*} t \in \mathbb{R} \end{align*}$ ist $\begin{align*} \left| \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right| = 1 \end{align*}$ . Jetzt stellst du aber leicht fest, daß $\begin{align*} \left| 3 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \right| = \sqrt{ 3^2 + \left( \sqrt{3} \right)^2 } = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \end{align*}$ ist. Durch das Ausklammern von $\begin{align*} 2 \sqrt{3} \end{align*}$ hat daher der Klammerterm den Betrag $\begin{align*} 1 \end{align*}$ und muß daher von der Form $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{align*}$ mit einem geeignet gewählten $\begin{align*} t \end{align*}$ sein. Daß für dieses $\begin{align*} t \end{align*}$ nun gerade $\begin{align*} t = \frac{\pi}{6} \end{align*}$ paßt - nun ja, so etwas weiß man auswendig. Oder man lernt es möglichst schnell auswendig. Ein paar Grundwerte trigonometrischer Funktionen gehören zum Standardwissen eines jeden Mathematikers.

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