Gruppenhomomorphismen 2.0 - Seite 2

06.11.2016, 10:03

Felix1109

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Injektivität wird gezeigt durch $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

In meinem Fall hab ich also zu zeigen das aus $\begin{eqnarray*} \varphi_g(g_1) = \varphi_g(g_2) \Rightarrow g_1=g_2 \end{eqnarray*}$

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} h \cdot g_1 = h \cdot g_2 \end{eqnarray*}$

beide Seiten multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_1 = g_2 \end{eqnarray*}$

Surjektivität wird gezeigt durch $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

Ich wähle mir also ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray*} y=h \cdot g_f \end{eqnarray*}$ und muss zeigen, das es für dieses ein passendes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beschrieben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ gibt.

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \varphi_g(g)=h\cdot g_f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h\cdot g=h\cdot g_f \Rightarrow g=\frac{h \cdot g_f}{h} \end{eqnarray*}$

Wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} h\cdot \frac{h \cdot g_f}{h} =h\cdot g_f \end{eqnarray*}$

Somit ist x wohldefiniert.

06.11.2016, 10:17

Elvis

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Du musst dich viel mehr konzentrieren, darfst nur benutzen, was definiert ist und die 3 Gruppenaxiome, sonst nichts. Mit f und x haben wir hier nichts zu schaffen.

In Gruppen wird multipliziert und nicht dividiert. Zu jedem $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray*} g^{-1}\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} gg^{-1}=g^{-1}g=1 \end{eqnarray*}$ wobei das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ in multiplikativ geschriebenen Gruppen mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: \varphi_g\in S(G) \end{eqnarray*}$
Beweis: injektiv: $\begin{eqnarray*} \varphi_g(h)=\varphi_g(k)\Rightarrow gh=gk\Rightarrow g^{-1}gh=g^{-1}gk\Rightarrow h=k \end{eqnarray*}$
surjektiv: $\begin{eqnarray*} h\in G\Rightarrow h=1\cdot h=(gg^{-1})h=g(g^{-1}h)=\varphi_g(g^{-1}h) \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 10:28

Felix1109

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Naja, das ist jetzt der Beweis für wohldefiniert. Macht Sinn, aber ich wäre trotzdem nie im Leben drauf gekommen... (Muss da bei dem einen Teil von inj. nicht $\begin{eqnarray*} g^-1gk \end{eqnarray*}$ stehn?

Dann kommt doch als nächstes, das die Fkt. Injektiv ist oder?

06.11.2016, 10:34

Elvis

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Doch kommst Du drauf, das ist Definition.
$\begin{eqnarray*} f: X\to Y \end{eqnarray*}$ Funktion . injektiv: $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in X: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ surjektiv: $\begin{eqnarray*} \forall y\in Y\exists x\in X:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Danke, habe meinen Schreibfehler korrigiert.

Was bedeutet das jetzt ? (siehe meinen Text von gestern) , und was haben wir davon ?
(Jetzt kommt der Teil, wo man denken muss, das soll in Mathematik gelegentlich vorkommen.)

Mittagspause ...

06.11.2016, 10:57

Felix1109

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Naja, ich hätte mir das jetzt erstmal so vorgestellt:

Sie haben ja gesagt, das eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die in eine Gruppe $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird immer eine Untergruppe davon ist.
Und wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ ist, heißt das ja das die Menge $\begin{eqnarray*} G\subset S(G) \end{eqnarray*}$ ist und so die Gruppe $\begin{eqnarray*} G\leq S(G) \end{eqnarray*}$ . (ohne =)

Und wenn ich jetzt die Gruppe $\begin{eqnarray*} G->S(G) \end{eqnarray*}$ abbilde is dann der Definitionsbereich kleiner als die Bildmenge, und ich dachte, das dann eine Abb. Injektiv ist unglücklich

unglücklich

06.11.2016, 10:58

Felix1109

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Guten Appetit!

Ich musste heut übrigens die Nacht durchmachen, damit ich die 3 HA´s die ich von Mittwoch auf morgen auf hab, nur ansatzweise schaffe -.-

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06.11.2016, 11:03

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis

a) Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ . Ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi_g:G\to G, h\to gh \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ?

a) haben wir formvollendet bewiesen.

Ehrlich gesagt sehe ich keinen richtigen Beweis, dass es sich i.A. nicht um einen Homomorphismus handelt (außer meiner Anmerkung auf Seite 1).

06.11.2016, 11:07

Felix1109

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Das hatten wir weiter vorne gezeigt, weil $\begin{eqnarray*} f(e_G)\neq e_G \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 11:42

Elvis

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Felix1109 hat recht. Gruppenhomomorphismen bilden das neutrale Element auf das neutrale Element ab, das gilt für Links- und Rechtsmultiplikation nicht, wenn g vom neutralen Element verschieden ist, also fast immer nicht.

06.11.2016, 11:44

Felix1109

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Hast du dir das mit der Injektivität durchgelesen? Macht das in irgend einer Art und Weiße Sinn?

06.11.2016, 11:47

RavenOnJ

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OK, hatte ich überlesen.

Ich glaube, es gibt bei dir ein paar Missverständnisse. Die Anmerkung von Elvis, dass man jede Gruppe G als Untergruppe der Permutationsgruppe S(G) auffassen kann, bedeutet nur, dass es einen Gruppenisomorphismus zwischen G und einer Untergruppe von S(G) gibt.

Außerdem:
"Und wenn ich jetzt die Gruppe $\begin{eqnarray*} G->S(G) \end{eqnarray*}$ abbilde is dann der Definitionsbereich kleiner als die Bildmenge, und ich dachte, das dann eine Abb. Injektiv ist"

Der Definitionsbereich kann nie kleinere Mächtigkeit als der Bildbereich (oder Bildmenge) haben. Du meinst wohl eher die Zielmenge als die Bildmenge. Wenn der Definitionsbereich einer Abbildung eine größere Mächtigkeit als die Bildmenge hat, dann bedeutet das, dass die Abbildung nicht injektiv ist. Denn bei einer injektiven Abbildung ist jedem Element des Bildbereichs genau ein Element des Definitionsbereich zugeordnet. Was allerdings nicht heißt, dass bei einer nicht-injektiven Abbildung Bild- und Definitionsbereich nicht auch dieselbe Mächtigkeit haben können. Dies kann bei unendlichem Definitionsbereich der Fall sein.

Eine Abbildung $\begin{align*} f: D\to Z \end{align*}$ ist dann surjektiv, wenn jedes Element im Zielbereich $\begin{align*} Z \end{align*}$ auch zum Bild von $\begin{align*} f \end{align*}$ gehört, wenn also $\begin{align*} \operatorname{img}(f) =Z \end{align*}$ .

06.11.2016, 11:50

Elvis

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Zitat:

Original von Felix1109
Naja, ich hätte mir das jetzt erstmal so vorgestellt:

Sie haben ja gesagt, das eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die in eine Gruppe $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird immer eine Untergruppe davon ist.
Und wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ ist, heißt das ja das die Menge $\begin{eqnarray*} G\subset S(G) \end{eqnarray*}$ ist und so die Gruppe $\begin{eqnarray*} G\leq S(G) \end{eqnarray*}$ . (ohne =)

Und wenn ich jetzt die Gruppe $\begin{eqnarray*} G->S(G) \end{eqnarray*}$ abbilde is dann der Definitionsbereich kleiner als die Bildmenge, und ich dachte, das dann eine Abb. Injektiv ist unglücklich

unglücklich

Da stimmt so gut wie nichts. Erst wenn wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein injektiver Homomorphismus ist, können wir die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ als Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ auffassen. Das ist der Sinn der ganzen Übung, aber so weit sind wir noch nicht.

Ich habe gestern viel gesagt, insbesondere den Zusammenhang zwischen den Bijektionen $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ und der Gruppentafel beleuchtet - darüber musst du nachdenken.
Und sage bitte nie wieder Sie zu mir, wir Mathematiker sind alle per Du, wir müssen schließlich zusammenhalten, wenn wir die Welt verstehen und verbessern wollen.

06.11.2016, 11:56

Felix1109

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Aber wir haben doch vorns geprüft ob $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bijektiv ist... Muss das dann nicht auch automatisch Injektiv sein?

Sry, hab mich verschaut, wir haben das ja nur für $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ gemacht

06.11.2016, 12:02

Elvis

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Genau, die Multiplikationen sind bijektiv, also Permutationen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , also Elemente von $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} |S(G)|=|G|! \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ unmöglich surjektiv sein (außer für $\begin{eqnarray*} |G|=1 \end{eqnarray*}$ ).

06.11.2016, 12:08

Felix1109

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Kannst du mir nochmal bitte sagen wie du darauf kommst? Die Elemente von S(G) sind bijektiv, weil $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Aber wie kommst du da jetzt auf den Rest?

06.11.2016, 12:13

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
Die Elemente von S(G) sind bijektiv, weil $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Umgekehrt: Die $\begin{align*} \varphi_g \end{align*}$ sind bijektiv, weil die Permutationen von $\begin{align*} G \end{align*}$ , also die Elemente von $\begin{align*} S(G) \end{align*}$ bijektiv sind. Die $\begin{align*} \varphi_g \end{align*}$ sind nur ein kleiner Teil der möglichen Permutationen von $\begin{align*} G \end{align*}$ (außer wenn $\begin{align*} G \end{align*}$ die Mächtigkeit 1 oder 2 hat).

06.11.2016, 12:15

Elvis

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Genau. Zurück zum Thema: Was ist $\begin{eqnarray*} \phi(g) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ?
Wenn du das nicht weißt, beginne ich zu verzweifeln ...

06.11.2016, 12:29

Felix1109

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Tut mir Leid, ich bin jetzt total raus unglücklich

unglücklich

Ich dachte $\begin{eqnarray*} \phi (g) \end{eqnarray*}$

gibt mir Elemente von $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 12:36

Elvis

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schreibt man so: $\begin{eqnarray*} f :X\to Y, x\mapsto y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Damit wir wissen, worüber wir reden, habe ich gestern die Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben. Du darfst nicht vergessen, was definiert wurde, sonst ist die ganze Mühe umsonst.

06.11.2016, 12:40

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \phi(g)=\varphi_g \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 12:48

Elvis

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Geht doch. wer oder was ist $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ ? ... ich warte ...

06.11.2016, 12:51

Felix1109

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Gott sei Dank hat das gestimmt! ik scheiß mir hier bald ein vor Angst

$\begin{eqnarray*} \varphi_g: G->G, h->gh \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ ist bijektiv

06.11.2016, 12:55

Elvis

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Mathematik macht Spaß. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \phi(g)=\varphi_g \end{eqnarray*}$ ist also eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Stimmt .
Wo findet man die Urbilder und Bilder dieser bijektiven Abbildung (genannt Linksmultiplikation) und auch die Urbilder und Bilder der zugehörigen Rechtsmultiplikation ?

06.11.2016, 12:58

Felix1109

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Die Bilder von $\begin{eqnarray*} \phi (g) =\varphi_g \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} S(G) \end{eqnarray*}$
Die Urbilder in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 13:02

Elvis

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Nein, mit Linksmultiplikation meine ich g->gh, mit Rechtsmultiplikation meine ich g->hg. Das sind alles bijektive Selbstabbildungen von G. Die Bilder und Urbilder findet man in der GRUPPENTAFEL .

Welche wichtige Eigenschaft hat die Gruppentafel (siehe gestern !)

06.11.2016, 13:04

Felix1109

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in jeder Zeile/ Spalte steht jedes Element genau einmal, weil die Links-Rechtsmultiplikationen bijektiv sind.

06.11.2016, 13:08

Elvis

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Ja, das ist eine Cayley-Tafel. Was heißt das nun für zwei Zeilen, in denen die Werte von $\begin{eqnarray*} \phi(g)=\varphi_g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(h)=\varphi_h \end{eqnarray*}$ stehen ?

... schneller, wir sind gleich durch , ich sehe schon die Zielfahne ... auf geht's ... der letzte Beweisteil wird wieder kinderleicht ...

06.11.2016, 13:14

Felix1109

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Erste Spalte und erste Zeile sind gleich?

06.11.2016, 13:16

Elvis

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Das ist trivial, denn da steht das neutrale Element. Darauf kommt es nicht an.

Gibt es zwei gleiche Zeilen ???

06.11.2016, 13:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis
Nein, mit Linksmultiplikation meine ich g->gh, mit Rechtsmultiplikation meine ich g->hg.

Dies wird aber typischerweise gerade andersrum definiert:
https://de.wikiversity.org/wiki/Gruppentheorie/Rechtsmultiplikation/Definition
Also $\begin{align*} \varphi_g:G\to G,h\mapsto hg \end{align*}$ ist die Rechtsmultiplikation.

06.11.2016, 13:20

Elvis

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Stimmt, habe ich auch bestimmt nur einmal in dieser Antwort falsch gemacht ... ich will nur noch, dass das ganz schnell fertig wird ... FELIX ! aufwachen !

wenn in einer Gruppentafel in jeder Spalte jedes Element genau einmal auftritt, können dann zwei Zeilen gleich sein ???

06.11.2016, 13:24

Felix1109

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Es gibt keine identischen Zeilen.

06.11.2016, 13:26

Elvis

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Heureka

Tanzen

das heißt im Klartext : $\begin{eqnarray*} g\ne h\Rightarrow \phi(g)=\varphi_g\ne \varphi_h=\phi(h) \end{eqnarray*}$

und was heißt das mit einem Wort ???

06.11.2016, 13:28

Felix1109

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Verzweiflung... traurig

traurig

06.11.2016, 13:29

Felix1109

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Urbilder und Bilder sind nicht gleich.

06.11.2016, 13:30

Elvis

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Das heißt $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist injektiv
Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn keine 2 verschiedenen Urbilder dasselbe Bild haben (DEFINITION !)

06.11.2016, 13:32

Felix1109

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Achsoooooo! Das hab sogar ich jetzt verstanden Prost

Prost

06.11.2016, 13:34

Elvis

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Jetzt berechnest Du noch $\begin{eqnarray*} \phi(gh)(k)=... \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} g,h,k\in G \end{eqnarray*}$ und erkennst daran, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist. (Das ist ein Einzeiler).

Ich hoffe Du hast daran gelernt, dass sauberes Aufschreiben der Aufgabe wichtig ist, sinnvolle Anwendung der Definitionen und Sätze, ein bißchen Nachdenken, und Mathematik ist nur noch ein Vergnügen. smile

smile

06.11.2016, 13:40

Felix1109

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Wenn ich was aus der Sache gerlernt hab, dann die Dinge die du grad gesagt hast, und das ich tiefer schaun sollte was ich eigentl. alles gegeben hab. Achja, und das mein Algebra Prof. seinem Spitznamen gerecht wird. Der Typ is hier bekannt als: "Der Exmatrikulator"

06.11.2016, 13:51

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \phi (gh)(k) = ((gh) (k))h = (gh)h (k)h =\phi(gh) \phi(k) \end{eqnarray*}$

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