Gruppenhomomorphismen 2.0 - Seite 3

06.11.2016, 14:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
$\begin{eqnarray*} \phi (gh)(k) = ((gh) (k))h = (gh)h (k)h =\phi(gh) \phi(k) \end{eqnarray*}$

Das ist etwas wirr. Vielleicht solltest du dir nochmal klar machen, dass $\begin{align*} \phi(gh)=\varphi_{gh} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \varphi_{g}:G\to G,k\mapsto gk \end{align*}$ . Zu zeigen ist nun, dass $\begin{align*} \phi(gh)=\phi(g)\circ \phi(h) \end{align*}$ , dass also $\begin{align*} \forall k\in G:\phi(gh)(k)=(\phi(g)\circ \phi(h))(k) \end{align*}$ .

06.11.2016, 14:18

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} \phi (gh)(k) = (\phi (g) * \phi (h))(k) = \phi (g)(k) * \phi (h)(k) \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 14:22

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
$\begin{eqnarray*} \phi (gh)(k) = (\phi (g) * \phi (h))(k) = \phi (g)(k) * \phi (h)(k) \end{eqnarray*}$

Nein. Es geht um die Gruppenoperationen in $\begin{align*} S(G) \end{align*}$ . Die Gleichung auf der linken Seite ist das, was du zeigen sollst. Du kannst sie also nicht voraussetzen. Was da auf der rechten Seite steht, ist die Multiplikation zweier Elemente in G. Darüberhinaus ist die rechte Gleichung auch noch falsch. Verwende bitte, um die Verwirrung möglichst gering zu halten, für die Gruppenoperation innerhalb von $\begin{align*} G \end{align*}$ und der innerhalb von $\begin{align*} S(G) \end{align*}$ unterschiedliche Symbole. Beispielsweise $\begin{align*} (G,\cdot) \end{align*}$ und $\begin{align*} (S(G),\circ) \end{align*}$ .

Ist dir überhaupt klar, was mit der Verknüpfung zweier Abbildungen gemeint ist? Denn das ist $\begin{align*} \phi (g) \circ \phi(h) \end{align*}$ . Deswegen steht dort auch das Symbol $\begin{align*} \circ \end{align*}$ (Latex-Tag: \circ), das typischerweise für die Operation der Verknüpfung zweier Abbildungen verwendet wird. Eine Permutation - also ein Element aus $\begin{align*} S(G) \end{align*}$ - ist eine Abbildung von G auf sich selbst. Die Gruppenoperation innerhalb von $\begin{align*} S(G) \end{align*}$ ist also die Verknüpfung von zweien solcher Abbildungen.

06.11.2016, 14:44

Felix1109

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Das die Verknüpfung in S(G) die Komposition ist, ist mir schon klar. Ich weiß aber nicht, wie ich jetzt meinen Beweis aufschreiben soll

06.11.2016, 14:59

Elvis

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Du weißt aber noch oder solltest wissen, dass $\begin{eqnarray*} \phi(g)=\varphi_g \end{eqnarray*}$ ist. Es kommt auch darauf an, alles zu wissen, was man gerade auf dem Blatt Papier stehen hat.

06.11.2016, 15:00

Felix1109

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Ja, das weiß ich noch.

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06.11.2016, 15:02

Elvis

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Na dann schreib doch $\begin{eqnarray*} (\phi(gh))(k)=\varphi_{gh}(k)=... \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 15:04

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} ... = \varphi_g (k) * \varphi_h (k) \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2016, 15:06

Elvis

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Nein, warum denn auch. Immer nur das schreiben was man weiß:
$\begin{eqnarray*} \phi(gh)(k)=\varphi_{gh}(k)=(gh)k=... \end{eqnarray*}$

...welche Axiome gelten in einer Gruppe ?

Ich lasse nicht locker, wir kriegen jetzt die vorbildlichste Musterlösung aller Erstsemester zustande .

06.11.2016, 15:16

Felix1109

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1) Assoziativität

2) Es gibt ein Neutrales Element

3) Es gibt Inverse Elemente

4) Gruppe ist abgeschlossen

für abelsch: 5) Kommutativität

06.11.2016, 15:19

Elvis

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Die 1. Idee ist oft die beste ... weiter rechnen, bitte ...

06.11.2016, 15:34

Felix1109

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Soll ich jetzt die Assoziativität beweißen???

06.11.2016, 15:35

Elvis

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Nein, anwenden ! benutzen ! machen ! rechnen !

$\begin{eqnarray*} \phi(gh)(k)=\varphi_{gh}(k)=(gh)k=g(hk)=... \end{eqnarray*}$

wo bleibt der Enthusiasmus im Endspurt ? Nur noch 2 Schritte.

06.11.2016, 15:57

Felix1109

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kann ich die Klammer da nicht auch weglassen?

also $\begin{eqnarray*} ghk \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 16:01

Elvis

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Das wäre gar nicht gut. Wir wollen doch eine Aussage über Abbildungen machen, also musst Du von der Gruppenmultiplikation wieder aufsteigen zu Linksmultiplikationen und von dort zum Homomorphismus. Am Anfang der Kette von Gleichungen sind wir abgestiegen von Abbildungen auf die Gruppenebene, benutzen dort das Assoziativgesetz (was denn sonst ?), und dann gehen wir zurück zu den Abbildungen.

06.11.2016, 16:05

Felix1109

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$\begin{eqnarray*} ...g(hk) = \varphi_hk (g) = \phi(hk)(g) \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 16:14

Felix1109

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Oder meinst du $\begin{eqnarray*} g(hk) = \varphi_g (hk) = \phi (g)(hk) \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2016, 16:16

Elvis

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"Im 1. Semester verstehen wir nichts, und im 2. Semester verstehen wir nicht, warum wir im 1. Semester nichts verstanden haben."

Mit dem 2. Versuch warst Du schon ganz nah dran smile

smile

$\begin{eqnarray*} \phi(gh)(k)=\varphi_{gh}(k)=(gh)k=g(hk)=\varphi_g(\varphi_h(k))=(\varphi_g\circ\varphi_h)(k)=( \phi(g) \circ \phi(h))(k)\Rightarrow \phi(gh)=\phi(g)\circ \phi(h) \end{eqnarray*}$

06.11.2016, 16:19

Felix1109

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Brauchst mich nicht trösten, ich weiß das ich nen Versager bin unglücklich

unglücklich

06.11.2016, 16:21

Elvis

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Wer kommt eigentlich auf die Idee im 1. Semester Algebra zu studieren ? Das haben wir früher nach dem Vordiplom gemacht. Welches Fach studierst Du ?
Wenn du das begriffen hast, was wir hier gemacht haben, bist Du kein Versager sondern auf dem Weg des Wissens ...

06.11.2016, 16:22

Felix1109

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Ist lin. Algebra, und wurde uns allen lt. Musterstudienablaufplan empfohlen

06.11.2016, 16:22

Felix1109

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Mathematik (mit Nebenfach)

06.11.2016, 16:24

Felix1109

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Habs aber eher versucht mitzumachen, als das ichs jetzt verstanden habe

06.11.2016, 16:24

Elvis

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Dann ist die Aufregung völlig unangebracht. Lineare Algebra darf ja auch mal ein bißchen über den Tellerrand der Vektorräume hinausgucken. Davon wird man nicht dümmer.

Steht alles da, sortiere es und lerne daran.

06.11.2016, 16:27

Felix1109

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Hast du vielleicht noch irgendwelche Random-Tipps, wie man gut beweißen lernt?

06.11.2016, 16:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
Hast du vielleicht noch irgendwelche Random-Tipps, wie man gut beweißen lernt?

Beim ersten mal hatte ich noch auf einen Schreibfehler getippt, jetzt nicht mehr. Zwar heißt es „wissen” und „du weißt”, aber es heißt „beweisen”.

06.11.2016, 17:15

Felix1109

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Ist auch ein Schreibfehler

06.11.2016, 18:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
Ist auch ein Schreibfehler

Zweimal derselbe? Nun denn.

07.11.2016, 10:22

Elvis

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Schachspielen lernt man mit viel Geduld, Talent und Fleiß, indem man das Spielfeld und die Spielfiguren kennenlernt, die Regeln lernt, spielt und verliert, Respekt vor dem Spiel anderer Spieler entwickelt, sich verbessern will, sich von guten Spielern beraten lässt, Bücher liest, spielen lernt, spielt und verliert und gewinnt, Meister studiert, das eigene Spiel verbessert, spielt und verliert und gewinnt.

Mathematik lernt man mit viel Geduld, Talent und Fleiß, indem man das Spielfeld und die Spielfiguren kennenlernt, die Regeln lernt, spielt und verliert, Respekt vor dem Spiel anderer Spieler entwickelt, sich verbessern will, sich von guten Spielern beraten lässt, Bücher liest, spielen lernt, spielt und verliert und gewinnt, Meister studiert, das eigene Spiel verbessert, spielt und verliert und gewinnt.

Das Spielfeld in der Mathematik ist das gemeinsame Denken mit anderen Mathematikern, die Spielfiguren sind Theorien über Strukturen, Objekte und Funktionen, die Regeln sind Definitionen, Axiome, Sätze, Beweise.
Hilfsmittel sind Hören, Lesen, Schreiben (wichtig: korrekte Grammatik und Rechtschreibung), Logik (wichtig: Aussagenlogik und Beweistechnik), Denken, Verstand, Vernunft, Kritikfähigkeit, Geduld, Neugier, Ausdauer, Wille, Einsichtsfähigkeit, Weisheit, ... alles, was der eigene Geist zu bieten hat.

07.11.2016, 10:30

Felix1109

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Ich zieh das Studium jetzt eiskalt durch! Mathematik zu studieren war seit Jahren mein Traum, und nur weil es jetzt gerade besch*** läuft geb ich nicht gleich auf! Bücher sind bestellt, und Zeit für die HA´s hab ich jetzt auch besser aufgeteilt.

07.11.2016, 10:39

Elvis

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Prima. Aller Anfang ist leicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch ein guter Rat: Deine Professoren wissen und können erheblich viel mehr als Du, und ihr einziges Ziel ist, dir etwas von ihrem Wissen und Können zu vermitteln. Habe Respekt und Vertrauen, lerne soviel wie möglich (aber max. 8 Stunden pro Tag).
Versuche, Mathematik so zu begreifen, dass Du selbst aktiv werden und eigene Beiträge leisten kannst, arbeite mit anderen und für andere. Frage niemals, "wozu brauche ich das ?" oder "muss ich das wissen ?", denn die Antwort ergibt sich in 10 bis 20 Jahren von selbst.

07.11.2016, 10:42

RavenOnJ

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Besser nicht eiskalt, sondern heiß, mit Passion. Sonst kommst du wohl nicht sehr weit. „Durchziehen” halte ich bei einem Mathe-Studium nicht für die richtige Wortwahl. Besser wäre wohl „Reinknieen”. Außerdem sollte man sich nie selber als Versager bezeichnen, nur weil man etwas nicht auf Anhieb verstanden hat. Dann wären alle Mathematiker Versager.

07.11.2016, 10:44

Felix1109

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Ich komm mir halt nur wie so ein Versager vor, weil meine Mitstudenten alles auf Anhieb verstehen (kommt zumindest so rüber).

Aber bringt mir auch nichts, wenn ich mich darüber aufrege, da versuch ich lieber an mir selbst zu arbeiten.

07.11.2016, 10:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Felix1109
..., weil meine Mitstudenten alles auf Anhieb verstehen (kommt zumindest so rüber).

Ich kann dir nur aus meiner Erfahrung berichten, dass dies mit Sicherheit nicht so ist. Deine Mitstudenten wollen sich nur keine Blöße geben. Wäre wohl uncool in ihren Augen. Aber klar ist natürlich, dass unter Mathematikstudenten viele sind, die dieses Studium zumindest am Anfang ohne große Schwierigkeiten bewältigen. Lass dich davon nicht entmutigen. Ich hatte einen Kommiliitonen, der in einer Teilprüfung fürs Diplom (Physik) beim ersten mal durchgefallen ist, das Diplom letztendlich nur befriedigend gemeistert hat, der es dann aber trotzdem später zum Doktor und einer Forschungsstelle an der Yale-Universität gebracht hat.

07.11.2016, 11:03

Felix1109

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Ist halt auch noch alles neu, und ich musste schauen wie ich mir am besten die Zeit einteile, lerne usw.
Hab das bis letzter Woche z.B so gehandhabt, das ich in den Vorlesungen mitschrieb und das dann sauber zu Hause nochmals abgepinselt habe. Mach ich jetzt lieber so, das ich in V. schon versuche so sauber wie möglich mit zu schreiben und die gesparte Zeit dafür noch extra ins lernen und die HA´s investiere.

07.11.2016, 11:10

RavenOnJ

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Ich kannte mal eine, die hat zu Hause ihren Mitschrieb sauber in Latex gesetzt. Hat allerdings nur irre viel Zeit gekostet und nichts gebracht. Es ist besser sofort alles sauber hinzuschreiben, so wie du es jetzt machst. HA sind enorm wichtig, um sich selber zu prüfen, ob man den Stoff auch wirklich verstanden hat, aber auch da sollte man ökonomisch vorgehen. Manchmal muss man sich dann fragen, ob die Extrapunkte den Aufwand lohnen. Was nicht heißen soll, dass man sich nicht auch an den schwierigen Aufgaben versuchen sollte. Bringt zumindest einen Lerneffekt. Ganz abgesehen vom Boost fürs Ego, wenn man sie geschafft hat.

07.11.2016, 11:20

Felix1109

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Die Punkte bei den HA sind mir eigentl. relativ egal. Mir geht's mehr darum zu verstehen was ich da machen muss. Mir ist klar, das ich niemals immer 90-100% richtig haben kann. Solang ich am Ende die benötigten 40% hab, und was aus den Aufgaben gelernt hab bin ich eigentl. zufrieden...

Ich hab hier welche die sich richtig fertig machen, wenn sie nur 15/20 Pkt. haben und ich war bis jetzt immer froh, wenn ich ca die Hälfte der Pkt. bekomme -.-

07.11.2016, 11:27

RavenOnJ

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So sind halt die unterschiedlichen Perspektiven. Ich hatte auch eher zu den 15/20=> traurig

traurig

-Typen gehört. Bei 50% geht natürlich immer noch was.

07.11.2016, 11:29

Felix1109

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Natürlich will ich auch so viele Pkt. wie möglich haben. Aber mein Primärziel sind immer min. die 40%.

07.11.2016, 11:31

RavenOnJ

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Klar, es ist immer das Primärziel, die Mindestpunktzahl zu schaffen. Solange man sich nicht darauf ausruht.

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