Integrationsaufgabe

05.11.2016, 09:27	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsaufgabe Hallo zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe: Integriere die Funktion $\begin{eqnarray} x^ny^m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n,m\in\mathbb N \end{eqnarray}$ über das Dreieck $\begin{eqnarray} \Delta^2=\{x\in\mathbb R\|x,y\geq 0,x+y\leq 1\} \end{eqnarray}$ Ich dachte mir dazu das Integral muss folgendermaßen ausschauen: $\begin{eqnarray} \int_0^{1}\int_0^{1-x}x^ny^mdydx=\frac{1}{m+1}\int_0^{1}x^n(1-x)^{m+1}dx \end{eqnarray}$ Ich dachte nun daran mittels binomischer Reihe dies zu umschreiben. $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-x)^{m+1}=\sum_{k=0}^{m+1}\binom{m+1}{k}1^{n-k}(-x)^{k}=\sum_{k=0}^{m+1}\binom{m+1}{k}(-1)^kx^k \end{eqnarray}$ Eingesetzt ... $\begin{eqnarray} =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}\binom{m+1}{k}(-1)^k\int_0^{1}x^{n+k}dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m+1}\binom{m+1}{k}(-1)^k\frac{1}{n+k+1} \end{eqnarray}$ Soweit bin ich gekommen. Jetzt habe ich allerdings eine Summe vorliegen die mir - so scheint es - unmöglich ist zu berechnen. Hat jemand einen Tipp für mich? Viele Grüße!
05.11.2016, 09:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsaufgabe Nach inneren Integration hast du die Eulersche Betafunktion vorliegen, siehe Wiki. Das schönste was du rausbekommen kannst, ist $\begin{eqnarray} \frac 1 { m+1} \int_0^1 x^n ( 1 -x)^{m+1} dx = \frac { \Gamma(n+1) \cdot \Gamma(m+2)}{(m+1) \Gamma(n+m+3)} \end{eqnarray}$ . Eine nicht triviale Herleitung ist z.B. im Forster Analysis 3 zu finden. Ggf. kann man es per Induktion zeigen, aber schön wird es wohl nicht.
05.11.2016, 09:58	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde mich dazu mal etwas einlesen. Damit kann hier auch dicht gemacht werden. Vielen Dank und bis zum nächsten mal!

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