Gleichheit AB = BA von 2x2 Matritzen

05.11.2016, 11:38	seArcH_forHelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit AB = BA von 2x2 Matritzen Meine Frage: a) Betrachtet wird die Menge $\begin{eqnarray} M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\\end{pmatrix} \| a, b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ von 2x2 Matritzen über R. Zeigen Sie, dass für beliebige zwei Matritzen A, B Element M gilt: AB = BA. b) Finden Sie zu der Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ alle Matritzen B mit festem Eintrag b12 = -2 derart, dass AB = BA gilt. Meine Ideen: Zu a) Es gilt ja $\begin{eqnarray} A = (a_{ij}), B = (b_{jk}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> <br /> c_{ij} = \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} \end{eqnarray}$ . Da ja i und j gleich sind kann ich doch einfach $\begin{eqnarray} c_{ii} = \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ii}b_{ik} \end{eqnarray}$ schreiben? Aber irgendwie bringt mich das nicht so richtig weiter. Zu b) Ich habe hier ein wenig herumgerechnet und b11 als freien Parameter gewählt und diesen mit z benannt. Ich komme auf folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} z & -2 \\ 0 & -0,5z + 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
05.11.2016, 12:23	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, zu a.) Anhand der Struktur, die du für die Multiplikation gewählt hast, ist Gleichheit schwerer zu erkennen, als ein direktes Nachrechnen (von 2x2 Matrizen) zeigen würde. Gerade bei 2x2 Matrizen ist das doch keine Arbeit auch ist bei $\begin{eqnarray} c_{ij} \end{eqnarray}$ dein "n" undefiniert. Übrigens ist $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ -a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq 2} \end{eqnarray}$ nur eine Kurzschreibweise. b) Kennst du den Begriff der Inversenbildung bereits aus der Vorlesung? Hast du dafür einen Algorithmus zur Hand? Denn es gilt ja $\begin{eqnarray} AB = BA \Leftrightarrow ABA^{-1}=B \Leftrightarrow B = A^{-1}BA \end{eqnarray}$ Damit kannst du dein Ergebnis dann ja auch recht leicht überprüfen (Wichtig: prüfe für solch ein Vorgehen erst, ob A invertierbar ist! Berechne dann die Inverse.. http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B...%7B0,3%7D%7D%5E(-1) ) Falls B weiterhin aus der Menge M kommen soll, hast du auch eine Vorgabe, die B erfüllen muss. Durch die Vorgabe siehst du direkt, dass bei $\begin{eqnarray} b_{21}= -b_{12} \end{eqnarray}$ eine andere Zahl stehen muss. Auch bei $\begin{eqnarray} a_{11}= a_{22} \end{eqnarray}$ sollte eine andere stehen. Dies führt aber zu einer nicht erfüllbaren Eigenschaft, wenn man Wolfram glauben darf: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B...%7B0,3%7D%7D%5E(-1)+%3D+%7B%7Ba,-2%7D,%7B2,a%7D%7D Hast du mit deiner Matrix mal nachgerechnet, ob das klappt? http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B...7D,%7B0,3%7D%7D Jemand anderes darf sich gerne beteiligen
05.11.2016, 13:51	seArcH_forHelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich dich richtig, dass ich bei a) das einfach ausrechnen darf und das dann schon genügt? Und zu b) also ich habe schon einmal etwas vom Inversen gehört jedoch nicht in Zusammenhang mit Matritzen. Wobei mir das einleuchtet was du geschrieben hast. Dennoch bin ich verwirrt. Bedeutet, das nun, dass sofern B aus M kommen soll das ganze nicht erfüllbar ist und ich somit B anders wählen muss oder verstehe ich dich hier falsch? Danke!
05.11.2016, 20:30	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ja genau. Bei a) sind recht beliebige Matrizen gegeben, mit denen du einfach einmal rechnen musst (ohne Zahlen einzusetzen ) bei b) Wenn die Matrix aus M sein soll, dann wird es keine mögliche Kombination geben. Dies muss dann aber bewiesen werden. Wolfram kann hier exemplarisch helfen, aber die Ergebnisse von Wolfram sind nicht immer richtig Ich vermute, dass dein B nicht aus M sein soll, damit du ein wenig lineare Algebra mit Matrizen üben kannst. Frage hier aber sicherheitshalber nochmal nach.

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