Konvergenz einer Reihe

05.11.2016, 11:55	Alatair	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Guten Tag, ich habe hier eine Frage zu der Konvergenz von Reihen und komme einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt: Es sei $\begin{eqnarray} a_{n} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ so, dass die Folge $\begin{eqnarray} s_{n} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ der Partialsummen beschränkt ist, und $\begin{eqnarray} b_{n}n\in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } a_{n} b_{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Da b eine momoton fallende Nullfolge ist, werden die einzelnen Glieder immer kleiner, bis es bei $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ schliesslich =0 ist. Da bei $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ die Summe der Partialsummen beschränkt ist, ist klar, dass auch hier die Glieder immer kleiner werden, es also auch eine Nullfolge sein müsste. Das triviale Kriterium für die Konvergenz einer Reihe gilt also, jedoch komme ich ab hier nicht mehr weiter. Auch bin ich mir nicht sicher, wie ich damit umgehen soll, dass die beiden Folgen in verschiedenen Räumen konvergieren. Ich hoffe mir kann da Jemand helfen
05.11.2016, 16:33	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Zunächst solltest Du Dir einen genauen Überblick über die Voraussetzungen verschaffen. 1. Es ist $\begin{eqnarray} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . 2. Die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray} S_n:=\sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray}$ ist beschränkt, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray} K>0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|S_n\|<K \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \left(S_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ muss aber keineswegs konvergent und insbesondere muss $\begin{eqnarray} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ keine Nullfolge sein. Betrachte z.B.: $\begin{eqnarray} a_n:=(-1)^n\text{ also }S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k. \end{eqnarray}$ 3. Die Folge $\begin{eqnarray} \left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist monoton fallende Nullfolge, d.h: $\begin{eqnarray} b_n\geq b_{n+1}\text{ und }\lim_{n\to\infty}b_n=0 \end{eqnarray}$ . Also ist insbesondere $\begin{eqnarray} b_n\geq 0\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray}$
05.11.2016, 16:53	Alatair	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst einmal danke für die Antwort 1.) Da ist eben genau eines der Probleme, ich weiss nicht wie ich damit umgehen soll 2.) Stimmt, da hast du recht. Jedoch wird an ja mit der konvergenten Folge bn multipliziert, die Glieder von b nähern sich immer mehr 0 an, sollten da die Produkte nicht auch kleiner werden, also $\begin{eqnarray} a_{n} b_{n}\geq a_{n+1} b_{n+1} \end{eqnarray}$ oder liege ich damit völlig falsch? Und wenn die Produkte immer kleiner werden, müsste die Reihe doch auf einen Wert hin konvergieren, welcher meiner Meinung nach 0 sein müsste, wegen der Nullfolge. Bin ich da auf dem Holzweg?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »