ableitung - vektorbetrag

30.08.2004, 16:09

chip

ableitung - vektorbetrag

folgendes problem
ich habe eine funktion die den betrag eines vektors zwischen zwei punkten beinhaltet:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = ||vi(x,y,z)-vn(x,y,z)|| \end{eqnarray*}$

gesucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{d f(x,y,z)}{d vi(x,y,z)} \end{eqnarray*}$

die formel würde ich gerne ableiten. ich habe den betrag augelöst in:

$\begin{eqnarray*} sqrt((vi-vn)^2) \end{eqnarray*}$

und dieses nach vi abgeleitet. (sollte eigentlich egal sein, ob ich nach dem vektor ableite, oder entsprechend nach den einzelnen komponenten x, y, z);
bin mir aber nicht sicher ob ich den betrag formal einfach so auflösen darf, da ich in meiner gesamtableitung auf ein anderes ergebnis komme, als in meiner referenz steht.

hoffe mir kann jemand helfen
vielen dank

30.08.2004, 16:38

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ableitung - vektorbetrag

Zitat:

Original von chip
folgendes problem
ich habe eine funktion die den betrag eines vektors zwischen zwei punkten beinhaltet:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = ||vi(x,y,z)-vn(x,y,z)|| \end{eqnarray*}$

Du hast also zwei Funktionen vi und vn, die dir Vektoren (welcher Dimension?) liefern, deren Koordinaten von x,y und z abhängen?

Zitat:

gesucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{d f(x,y,z)}{d vi(x,y,z)} \end{eqnarray*}$

Das wäre eine Ableitung nach einem Vektor, wenn es so gemeint ist wie ich es verstehe. Die ist meines Wissens nicht definiert.

Zitat:

die formel würde ich gerne ableiten. ich habe den betrag augelöst in:

$\begin{eqnarray*} sqrt((vi-vn)^2) \end{eqnarray*}$

und dieses nach vi abgeleitet. (sollte eigentlich egal sein, ob ich nach dem vektor ableite, oder entsprechend nach den einzelnen komponenten x, y, z);

Damit würdest du vi wie eine Zahl behandeln, und auch die von dir verwendete Schreibweise "(vi-vn)^2" ist zwar gebräuchlich für das Skalarprodukt, ist hier aber eher verwirrend, da z.B. die Potenzregel vermutlich nicht gilt (habs nicht geprüft).

Zitat:

bin mir aber nicht sicher ob ich den betrag formal einfach so auflösen darf, da ich in meiner gesamtableitung auf ein anderes ergebnis komme, als in meiner referenz steht.

Was meinst du mit deiner "Gesamtableitung"?
Was ist denn das Referenz-Ergebnis?

Gruss,
SirJective

30.08.2004, 17:10

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ableitung - vektorbetrag

Zitat:

Original von SirJective
Du hast also zwei Funktionen vi und vn, die dir Vektoren (welcher Dimension?) liefern, deren Koordinaten von x,y und z abhängen?

sorry: vi und vn sind vektoren <=> 3D

Zitat:

Original von SirJective
Das wäre eine Ableitung nach einem Vektor, wenn es so gemeint ist wie ich es verstehe. Die ist meines Wissens nicht definiert.

es ist auch die ableitung nach einem vektor. die schreibweise war so in dem paper das ich bearbeite.
wenn ich angefangen hätte das auch noch in x,y und z komponenten zu zerlegen wäre und alles partiell abgeleitet hätte und dann wieder in die fromel eingesetzt hätte wär ich glaub durchgedreht.

Zitat:

Original von SirJective
Damit würdest du vi wie eine Zahl behandeln, und auch die von dir verwendete Schreibweise "(vi-vn)^2" ist zwar gebräuchlich für das Skalarprodukt, ist hier aber eher verwirrend, da z.B. die Potenzregel vermutlich nicht gilt (habs nicht geprüft).

in meinen augen nicht, da ich vi formal wie eine variable x behandelt habe. vn behandle ich wie eine zahl.

Zitat:

Original von SirJective
Was meinst du mit deiner "Gesamtableitung"?
Was ist denn das Referenz-Ergebnis?

ich habe den teil aus einer "größeren" formel heraus;
hier ein ausschnitt aus dem paper:
gleichung 1 muss ich ableiten und gleichung 2 soll rauskommen:

\\EDIT by sommer87: Zitat-Code verbessert...

30.08.2004, 17:33

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Aufklärung, leider ist mir dieser Ableitungsbegriff unbekannt.

Vielleicht kann dir jemand anders helfen.

Gruss,
SirJective

(Übrigens muss man hier ein Zitat mit /quote beenden, nicht mit quote.)

31.08.2004, 08:23

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

trotzdem danke.

bin halt noch anfänger Willkommen

31.08.2004, 09:34

MisterSeaman

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

theoretische Physik? Normalerweise versteht man dort unter der Ableitung einer Funktion nach einem Vektor einen Vektor, der als Komponenten die Ableitung der Funktion nach den einzelnen Vektorkomponenten besitzt. Kürzer gesagt also den Gradienten.

Gruß und Willkommen

.

MisterSeaman

31.08.2004, 09:51

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

@ MisterSeaman: das stimmt in meinen augen auch

es geht hier um eine anwendung der euler methode. ich muss eine art bewegung berechnen.
beispiel hierfür wäre die berechnung einer planetenbewegung in tagesschritten bezogen auf ein jahr.
es sollte in meinen augen also auch ein vektor herauskommen, den ich auf den vektor vom iterationsschritt vorher draufaddiere und somit die neue position berechne, d.h. der auf die neue position zeigt auf die ich mich bewegen muss:
einfach gesagt, ein gradient (stimme dir zu!)

dennoch bleibt noch immer die frage ob ich aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{d f}{d vi} = \frac{d}{d vi}||vi - vn|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d vi} \sqrt{(vi - vn)^{2}} \end{eqnarray*}$

machen darf und das dann formal ableiten kann
gruß zurück Wink

und danke

31.08.2004, 09:55

MisterSeaman

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eigentlich schon. Was kriegst Du in der Rechnung denn raus?

31.08.2004, 10:11

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

fast das selbe wie in der lösung angegeben wird, aber auch nur fast.
bei mir hängt da noch n einheitsvektor in der gegend rum.
ich gebe mal die lösung innnerhalb der summe an

$\begin{eqnarray*} (din^t - din^0) (\frac{xi^t -xn^t}{\sqrt{(xi^t -xn^t)(xi^t -xn^t)}} - \frac{xi^0 -xn^0}{\sqrt{(xi^0 -xn^0)(xi^0 -xn^0)}}) \end{eqnarray*}$

und die hinteren zwei terme sind die einheitsvektoren?
meine ich zumindest.
=> $\begin{eqnarray*} (din^t - din^0) (e_din ^t - e_din ^0) \end{eqnarray*}$
hoffe das kann man einigermaßen lesen. hab das nicht besser hinbekommen.

nicht so wichtig:
der eine (index t) zeigt auf die nachbarpunkte in der letzten iteration und der zweite (index 0) zeigt auf die nachbarpunkte vor der bewegung.

wichtig:
wie du siehst steht da noch ein einheitsvektor mehr als in der oben angegebenen lösung. zumindest hab ich das raus, aber ich glaub mal, dass der der das paper geschrieben hat mehr kann als ich Gott

31.08.2004, 10:36

MisterSeaman

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber im Papier wird ja auch nur die Summe gebildet - könnte es sein, dass die beiden Einheitsvektoren "getrennt" in der Summe verwurstet wurden? Deine Zweiersumme sozusagen auseinandergezogen wurde und jeder Deiner Einheitsvektoren einzeln in der Summe vorkommt?

31.08.2004, 11:12

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

die summe sollte die gleiche sein wie oben (innere summe).
bin mir da nicht so ganz sicher.
das einzige was ich mir vorstellen kann, ist dass der angegebene vektor $\begin{eqnarray*} e_{kn} \end{eqnarray*}$ das ergebnis der differenz ist, was aber durch den text keinen sinn macht, da dort ja beschreiben ist, dass der vektor von einem eckpunkt zum anderen zeigt
also steht da in meinen augen:

$\begin{eqnarray*} e_{kn}=\frac{{x_i}^t-{x_n}^t}{\sqrt{({x_i}^t-{x_n}^t)({x_i}^t-{x_n}^t)}} \end{eqnarray*}$

ich hab die summe bei der ableitung aussen vor gelassen, da ich davon ausgegangen bin, dass die keine auswirkung auf die Ableitung haben sollte. der term kommt halt dann N mal vor.
außerdem kommt da ja auch nicht wirklich raus, welcher der einheitsvektoren das sein soll. ich gehe mal davon aus, dass es der für index t ist, bin mir aber nicht so ganz sicher.

ich hab auch schon nach der angegebenen referenz geschaut.
die gibt es natürlich nicht zum download. wer hätte es gedacht geschockt

ich werde einfach noch ne weile im internet nach ähnlichen fällen suchen und versuchen ne brücke zu schlagen oder den menschen anschreiben, der das geschrieben hat. sitze jetzt schon eineinhalb tage an dem problem und mein kopf tut weh. hab das auch schon programmiert, aber das funktioniert auch net wirklich.

31.08.2004, 15:13

chip

Auf diesen Beitrag antworten »

das problem scheint vielleicht gelöst.
man musste die gleichung in bestimmten bereichen aus dem logischen zusammenhang heraus als konstant ansehen und kommt dann auf das im paper angekündigte ergebnis. hoffe zumindest dass es stimmt.
danke an alle

Neue Frage »

Antworten »

ableitung - vektorbetrag

Verwandte Themen