Wurzelgleichung 3. Grades

05.11.2016, 20:39	RudisehrRatlosXXL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelgleichung 3. Grades Zu lösen ist: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{20+14\sqrt{2} }+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2} } <br /> \end{eqnarray}$ Mit dem Rechner hat man es schnell - x=4 also der Rest ist klar. Doch wie kann ich das schriftlich lösen? Substitution geht ja nicht, da in der 1. Wurzel ein + und in der 2. Wurzel ein - steht. Ich vermute Hilfe durch die 3. binomische Formel.. doch wie?
05.11.2016, 20:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde für den ersten Radikanden $\begin{align} R \end{align}$ folgenden Ansatz mit ganzen Zahlen $\begin{align} a,b \end{align}$ probieren: $\begin{align} R = \left( a + b \sqrt{2} \right)^3 = \ldots = a \left( a^2 + 6b^2 \right) + b \left( 3a^2 + 2b^2 \right) \sqrt{2} \end{align}$ Und ein Vergleich zeigt: $\begin{align} \text{(1)} \ \ a \left( a^2 + 6b^2 \right) = 20 \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ \ b \left( 3a^2 + 2b^2 \right) = 14 \end{align}$ Jetzt braucht dieses Gleichungssystem keine ganzzahligen Lösungen zu besitzen. Aber wenn es welche besitzt, können $\begin{align} a,b \end{align}$ nicht allzu große Zahlen sein. Einfach einmal ein bißchen probieren.
06.11.2016, 01:09	Dangalf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelgleichung 3. Grades Du vermutest recht bezüglich der dritten binomischen Formel, aber auch der binomische Lehrsatz für dritte Potenzen ist hier nützlich: $\begin{eqnarray} (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \end{eqnarray}$ . Setzen wir $\begin{eqnarray} x = \sqrt[3]{20+14\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ , dann ist in diesem speziellen Fall $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ einfach mit der dritten binomischen Formel zu berechnen und ergibt "glücklicherweise" eine ganze Zahl, so wie auch $\begin{eqnarray} x^3 + y^3 \end{eqnarray}$ . Beachtet man jetzt noch $\begin{eqnarray} (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) \end{eqnarray}$ und setzt einerseits $\begin{eqnarray} x + y = z \end{eqnarray}$ (links und rechts) und ersetzt andererseits $\begin{eqnarray} x^3+ y^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3xy \end{eqnarray}$ durch die konkreten Werte, dann erhält man ein Polynom dritten Grades in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit ganzzahligen Koeffizienten, dessen (einzige reelle) Nullstelle $\begin{eqnarray} z=4 \end{eqnarray}$ man relativ leicht erraten kann. Wie kommt man auf so was? Indem man einfach mal den gegebenen Ausdruck in die dritte Potenz erhebt und schaut, was passiert ...
06.11.2016, 13:39	RudisehrRatlosXXL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelgleichung 3. Grades Danke dir... ja so geht es .. die letzte kubische Gleichung löst man dann durch Probieren. Dir eine gute Zeit!

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