Äquivalenzklasse

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Tylo Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklasse
Meine Frage:
Zeige, dass die durch [(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)] festgelegte Addition auf Z wohlde?niert ist.

Meine Ideen:
Hinweis: Zu zeigen ist, dass die Äquivalenzklasse [(a+c,b+d)] nur von den Klassen [(a,b)] und [(c,d)] abhängt, nicht von a,b,c,d selbst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das ist zu zeigen. Wenn du nicht mitteilst, worum es hier geht, wirst Du keine Antworten bekommen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzklasse
Wie sind denn die Äquivalenzklassen definiert? Dazu sagst du nichts.
Tylo Auf diesen Beitrag antworten »

Durch
(a,b) ~ (c, d) :, a+d = c+b

ist auf N² eine Äquivalenzrelation definiert. Wir bezeichnen die
Faktormenge N²/~ mit Z und nennen ihre Elemente die ganzen
Zahlen. Ganze Zahlen der Form [(n, 0)] bezeichnen wir kürzer
durch die natürliche Zahl n; ganze Zahlen der Form [(0, n)] als −n.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ersetze mal in [(a,b)]+[(k,m)] den Repräsentanten (a,b) durch den äquivalenten Repräsentanten (c,d) und rechne, ob die Addition unabhängig vom Repräsentanten ist. Das Analoge dann mit dem zweiten Summanden.
Tylo Auf diesen Beitrag antworten »

dann erhalte ich doch a+k und b+m
bzw. k+c oder m+d

aber wie ich schreibe ich das formell richtitg auf?
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Untersuche [(a,b)]+[(k,m)] sowie [(c,d)]+[(k,m)] unter der Voraussetzung (a,b) ~ (c,d) und zeige, dass [(a,b)]+[(k,m)] = [(c,d)]+[(k,m)] bzw. (a+k,b+m) ~ (c+k,d+m). Dies lässt sich einfach unter Berücksichtigung der Definitionsgleichung für die Äquivalenzklassen berechnen.
Tylo Auf diesen Beitrag antworten »

vlt. liegt es daran dass ich nicht ganz verstehe was dieses Zeichen ~ bedeutet und was generell Äquivalenzklassen sind
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du weißt, was Relationen sind? Speziell Äquivalenzrelationen? Wenn nicht, dann solltest du dich zuerst mal darum kümmern. Das Zeichen ~ bedeutet „äquivalent zu”. Also (a,b) ~ (c,d) heißt, „(a,b) ist äquivalent zu (c,d)”. (a,b) und (c,d) sind dann beide Repräsentanten einer bestimmten Äquivalenzklasse unter allen Paaren . Unter einer Äquivalenzrelation lässt sich eine Menge in disjunkte Äquivalenklassen zerlegen.

Hier geht es um die Menge aller Paare , die in Äquivalenklassen zerlegt wird. Jede dieser Äquivalenklassen steht dann für eine ganze Zahl, d.h. es lässt sich eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und den Äquivalenklassen [(x,y)] angeben.

Da du mit dem Begriff Äquivalenzrelation anscheinend nicht viel anfangen kannst, solltest du für die genannte Relation zuerst mal beweisen, dass sie eine Äquivalenzrelation ist. Also
a) die Reflexivität, d.h.
b) die Symmetrie, d.h.
c) die Transitivität, d.h.

Hat eine Relation diese drei Eigenschaften, dann handelt es sich um eine Äquivalenzrelation.
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