Taylorreihe

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06.11.2016, 13:31	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe Berechne 1.04^(0,98 näherungsweise mit Hilfe des Taylorpolynoms erster Ordnung für die Funktion f(x;y) :=x^y an der Stelle p = (1;1). Gib eine Fehlerabschätzung an. Den ersten Teil habe ich schon gemacht. T1= 1+ (x-1) = 1,04 Die Fehlerabschätzung schaffe ich nicht. dafür brauche ich ja R2 Kann mir da jmd weiterhelfen??
06.11.2016, 18:47	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich einfach nur das Restglied angeben??
06.11.2016, 19:53	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ist dir schonaufgefallen, dass es sich um eine 2 dimensionale Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y):=x^y \end{eqnarray}$ handelt ? Demnach ist es ein wenig komplizierter: $\begin{eqnarray} f(x,y)=f(1,1)+\nabla f(1,1) \binom {x-1}{y-1}+\underbrace {\frac 12 (x-1,y-1)H_f(\xi,\eta)\binom {x-1}{y-1}}_{Restglied} \qquad\nabla = Gradient\quad H_f = Hessematrix \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x < \xi < 1\, ; \, y <\eta < 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=1.04\quad y=0.98 \end{eqnarray}$
06.11.2016, 20:32	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal: Aber wenn ich T1 berechne komme ich auf 1 + ( x-1) das ist doch richtig? Wie schätze ich das Restglied jetzt ab?
06.11.2016, 22:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
liest du Posts überhaupt? $\begin{eqnarray} T_1(x,y,(1,1))=f(1,1)+\underbrace {\nabla f(1,1)}_{Gradient} \binom {x-1}{y-1} \end{eqnarray}$ der Gradient enthält 2 partielle Ableitungen, welche ?
06.11.2016, 22:32	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
grad f = ( (x^(-1+y) y, x^y * log(x)) und grad f (1,1) = (1,0) d.h es bleibt doch nur x-1 übrig am ende
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06.11.2016, 23:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, stimmt. Wenn du es ordentlich geschrieben hättest , hätte ich es auch gemerkt.
06.11.2016, 23:42	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok tut mir leid. Aber trotzdem danke. Wie mache ich jetzt das mit dem Restglied? Wie kann man das abschätzen?
06.11.2016, 23:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
oben steht das Restglied für $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ einfach "durch" : Hesse Matrix an der Stelle ( xi, eta) links mit Zeile (x-1,y-1) multiplizieren dann rechts mit Spalte (x-1,y-1)^T multiplizieren. Dann x und y einsetzen ---> Term in xi,eta Frage: wann wird der Betrag davon möglichst groß wenn xi und eta im angezeigten Intervall liegen. Wird sich rausstellen. edit : die 1/2 nicht vergessen !
07.11.2016, 00:03	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die partiellen Ableitungen wären f_xx = y(y-1)^(y-2) f_xy=f_yx= x^(y-1) ( y ln x -1 ) f_yy = ln^2 x * x^y Wie bringe ich dann die Stelle xi eta mit dazu?
07.11.2016, 00:07	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach in der Matrix x=xi und y = eta einsetzen. edit: in der Zeile oder Spalte kann man vorher x=1.04 und y=0.98 setzen
07.11.2016, 00:35	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe dann: 1/2 [ (x-1)^2 eta * ( eta-1)^(eta-2) + (x-1)^2 * xi ^( eta - 1) * ( eta ln xi - 1 ) + (y-1)^2 xi ^( eta - 1 ) ( eta ln xi - 1 ) + (y-1)^2 ln^2 xi* xi^eta] Ist das so ok? Sorry wie muss ich jetzt abschätzen. Komme nicht ganz mit?
07.11.2016, 00:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die 1/2 kannst du am Schluss anfügen. Damit es nicht zu allgemein bleibt ( ist ja nicht gefordert ) x=1.04 , y=0.98 einsetzen, das gibt wegen x-1und y-1 kleine Zahlenwerte. und dann wohl mal mit Latex sauber schreiben.
07.11.2016, 01:04	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
810^(-4 ) eta * ( eta-1)^(eta-2) + 8 * 10^(-4) * xi ^( eta - 1) * ( eta ln xi - 1 ) +2* 10^-4 xi ^( eta - 1 ) ( eta ln xi - 1 ) + 2* 10^-4 ln^2 xi* xi^eta] und dann? Sorry ich kann das in Latex nicht
07.11.2016, 01:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2 maxF=\bigg\| 8\cdot10^{-4 } \eta ( \eta-1)^{\eta-2} + 8 \cdot 10^{-4} \cdot \xi^{\eta - 1}\cdot \ln (\ln (\xi - 1 ))+2\cdot 10^{-4} \xi ^{\eta - 1 } \eta\cdot \ln (\xi - 1 ) + 2\cdot 10^{-4} ln^2 (\xi\xi^\eta) \bigg\| \end{eqnarray}$ so ungefähr. xi und eta liegen ja zwischen 1.04 und 1 sowie zwischen 0.98 und 1. Mal ein bisschen ausklammern und dann nach oben abschätzen. Dazu dann die Summanden einzeln in den Betrag nehmen und großzügig ( so dass es bequem wird ) nach oben abschätzen ( so wie z.B e durch 3 ). Das ist jetzt nicht genau geregelt. Man kann sehr gut aber auch weniger gut abschätzen.
07.11.2016, 01:47	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dopap. Eine Frage : Warum hast 2 max F geschrieben? Mit dem abschätzen tue ich mich schwer. Was kämme denn für dich raus?
07.11.2016, 02:11	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir dann die Abschätzung zeigen. Ich komme da nicht dahinter....
07.11.2016, 02:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wegen dem 1/2 hab' keinen TR. keine Ahnung, sollte aber kleiner als 1.04^0.98 - T1(1,1) sein. ein bisschen viel Aufwand für 1.04^0.98 aber es geht natürlich ums Prinzip. Probier lieber mal sowas wie sin x =x-x^3/3! mit 0<x<0.2 abzuschätzen. GN8

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