Verhältnis zweier Flächeninhalte

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Mathj8h75 Auf diesen Beitrag antworten »
Verhältnis zweier Flächeninhalte
Meine Frage:
Gegeben ist eine beliebiges Dreieck mit Flächeninhalt A, nun soll aus den 3 Seitenhalbierenden dieses Dreiecks ein Neues gebildet werden (mit Flächeninhalt F).

Zeige, A=4/3 F.

Meine Ideen:
-
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächeninhalte?
Skizze und schon bist du fertig Augenzwinkern
 
 
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächeninhalte?
Zitat:
Original von riwe
Skizze und schon bist du fertig Augenzwinkern
Lieber Werner,
die Skizze ist einfach: A = (0|0), B=(x1|0) und C = (x2|y2)

und schon bist du fertig ist komplizierter:
Dreiecksfläche A1 = (x1*y2)/2
Die drei Längen der Seitenhalbierenden findet man mit
Schwerpunkt (sx|sy) = ( (x1+x2)/3 | y2/3 )
Daraus s1,s2,s3 ... das sind Wurzelausdrücke aus sx, sy, x1, y2
Die würde ich nun einsetzen in die Heron-Formel ... aber das gibt eine Rechnerei !

Ich bin sicher, Du hast einen einfacheren Gedanken. Bitte um einen Tipp.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächeninhalte?
hallo isi,
hoffentlich bist du nicht noch immer am Rechnen Augenzwinkern

ich reiche meine Idee nach:



Skizze machen und "fertig" Augenzwinkern
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächeninhalte?
Wenn man Deine Raute sieht, Werner, leuchtet einem das schon ein - die zu bewundernde Leistung ist eben diese Raute.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie groß ist das Verhältnis der beiden Flächeninhalte?
Zitat:
Original von isi1
Wenn man Deine Raute sieht, Werner, leuchtet einem das schon ein - die zu bewundernde Leistung ist eben diese Raute.

Raute = Parallelogramm Augenzwinkern
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe noch nicht mal die Aufgabe.
Geschweige denn die Lösung.

traurig
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Aus den 3 Seitenlängen sa, sb und sc soll ein Dreieck gebildet und dessen Fläche berechnet werden.
Das Parallelogramm hat die Längen sa und sb.
Es zerfällt in zwei gleiche Dreiecke, die bereits die Seitenlängen sa, sb und sc haben.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, also das neue Dreieck soll durch Parallelverschieben der drei Seitenhalbierenden gebildet werden.
Das Parallelogramm wäre dann doppelt so groß. Soweit klar.

OK, aber der Rest? X + Y ???
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Aha, also das neue Dreieck soll durch Parallelverschieben der drei Seitenhalbierenden gebildet werden.
Was mich übrigens außerordentlich wundert.
In der Aufgabenstellung steht ja: "nun soll aus den 3 Seitenhalbierenden dieses Dreiecks ein Neues gebildet werden".
Ich hätte nie gedacht, dass die Winkel der Seitenhalbierenden sa,sb,sc im ursprünglichen Dreieck für das Dreieck aus sa,sb,sc passen. Da muss noch eine innere Gesetzmäßigkeit bestehen.
Könnt ihr mir das bitte erläutern?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von isi1
Zitat:
Original von willyengland
Aha, also das neue Dreieck soll durch Parallelverschieben der drei Seitenhalbierenden gebildet werden.
Was mich übrigens außerordentlich verwundert.
In der Aufgabenstellung staht ja: "nun soll aus den 3 Seitenhalbierenden dieses Dreiecks ein Neues gebildet werden".
Ich hätte nie gedacht, dass die Winkel der Seitenhalbierenden sa,sb,sc im ursprünglichen Dreieck für das Dreieck aus sa,sb,sc passen. Da muss noch eine innere Gesetzmäßigkeit bestehen.
Könnt ihr mir das bitte erläutern?

wo steht was von "Parallelverschieben" verwirrt

die Aufgabe lautet: zeige, dass A = 4/3 F, nicht mehr und nicht weniger
zum Bilderl: wie Mythos schon geschrieben hat, habe ich ein Parallelogramm aus sa und sb gebastelt, dass sc zur Diagonale hat,
damit hat man "links" von sc ein 3eck "1" aus sa, sb und sc und ebenso rechts davon 3eck "2" aus sa, sb und sc.
bei "1" wird sb durch die Seite a halbiert, bei "2" sa durch b, daher sind die Flächen X und Y jeweils F/2.
das entspricht der Fläche von A abzüglich der beiden kleinen Flächen unten, der Rest steht schon oben.
ok verwirrt
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
wo steht was von "Parallelverschieben" ?


Na ja, die originalen Seitenhalbierenden bilden ja kein Dreieck, sondern schneiden sich in einem Punkt. Man muss sie erst verschieben, damit sich ein Dreieck bildet.

Den Rest habe ich jetzt verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Strahlensatz
Noch eine Anmerkung:

In der Skizze (bzw. der Begründung dazu) tauchen eine Reihe Ähnlichkeitstransformationen (man könnte auch sagen: Strahlensatzfiguren) mit Faktor 1/2 auf. Was insbesondere dann auch bei der Flächenberechnung eine Rolle spielt, konkret bei der Bestimmung der Höhe für die zu subtrahierenden beiden kleinen Dreiecke unten.
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