Summe einer unendlichen Reihe

06.11.2016, 17:45	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe einer unendlichen Reihe Hello, eine Frage, und zwar muss ich überprüfen ob die Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!} \end{eqnarray}$ konvergiert, und wenn ja welche Summe sie hat. Mit dem Quotientenkriterium habe ich rausgefunden dass die Reihe konvergiert, und mit einsetzen, dass die Summanden mit n=6 beginnen kleiner als 1 zu werden. Nun habe ich Teilsummen gebildet, und geschaut ob ich irgendwelche Gemeinsamkeiten oder Ähnlichkeiten entdecken kann. Als mich der Frust des "Nichts Sehens" überkam, habe ich alles in Wolfram Alpha eingetippt, welcher mir gesagt hat, die Summe sei $\begin{eqnarray} 5e \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich auch dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e \end{eqnarray}$ ist. Dennoch komme ich nicht dahinter wie ich von der Reihe der Angabe auf die 5e komme. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
06.11.2016, 18:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, den Summanden für $\begin{align} n=0 \end{align}$ kannst du weglassen, er ist ja $\begin{align} 0 \end{align}$ . Danach kannst du durch $\begin{align} n \end{align}$ kürzen. (Vorsicht! Nicht vorher durch $\begin{align} n \end{align}$ kürzen, denn Kürzen durch $\begin{align} 0 \end{align}$ ist verboten.) $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=1} \frac{n^2}{(n-1)!} \end{align}$ Und jetzt könnte man versuchen, weiter zu kürzen, indem man $\begin{align} n^2 \end{align}$ als Polynom in $\begin{align} n-1 \end{align}$ schreibt: $\begin{align} (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1 \end{align}$ Hier $\begin{align} 2n - 1 \end{align}$ addieren: $\begin{align} (n-1)^2 + 2n-1 = n^2 \end{align}$ Und jetzt $\begin{align} 2n-1 = 2(n-1) + 1 \end{align}$ verwenden: $\begin{align} (n-1)^2 + 2(n-1) + 1 = n^2 \end{align}$ Damit geht es in der Summe weiter: $\begin{align} \sum_{n=1} \frac{n^2}{(n-1)!} = \sum_{n=1} \frac{(n-1)^2 + 2(n-1) + 1}{(n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^2}{(n-1)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \end{align}$ Nun, die letzte Summe ist schon mal $\begin{align} \operatorname{e} \end{align}$ . Und mit den anderen Summen mach nach derselben Methode weiter: Anfangssummanden, die $\begin{align} 0 \end{align}$ sind, weglassen, dann kürzen und dich durch geeignete Substitutionen wieder eins weiter herunterarbeiten.
06.11.2016, 19:37	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=1} \frac{n^2}{(n-1)!} = \sum_{n=1} \frac{(n-1)^2 + 2(n-1) + 1}{(n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^2}{(n-1)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \end{eqnarray}$ wenn ich das nun als Basis hernehme würde ich wie folgt weiter machen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^2}{(n-1)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} =\\ <br /> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^2}{(n-1)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \\<br /> \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-2)+1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \\<br /> \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-2}{(n-2)!}+ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \\<br /> \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!}+ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = <br /> 5e<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das von den Umformungen her? Vielen Danke jedenfalls für den Tipp! Gibt es irgendwelche "kennzeichen" mit denen man sieht was zu tun ist? Ob es wirklich auf 5e hinausläuft? Da ich das Ergebnis dank Wolfram Alpha wusste, war mir nun (dank deiner Hinweise, und Erklärungen) klar worauf ich hinarbeiten muss, aber gibt es irgendwelche Merkmale woran man sieht dass es darauf hinausläuft?
06.11.2016, 20:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so. Eine allgemeine Regel kann ich dir leider nicht angeben. Mit der Zeit gewinnt man einfach Erfahrung und probiert das ein oder andere. Man könnte zum Beispiel auch anders vorgehen. Der erste Schritt bleibt: den ersten Summanden weglassen und $\begin{align} n \end{align}$ kürzen. Dann definiert man eine Funktion: $\begin{align} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n-1)!} x^{n-1} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align}$ Die Konvergenz ist wegen der Fakultäten im Nenner gesichert. Warum ich $\begin{align} n-1 \end{align}$ bei der $\begin{align} x \end{align}$ -Potenz nehme, wirst du gleich sehen. Denn jetzt bilden wir davon eine Stammfunktion: $\begin{align} F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} x^n \, , \ \ F'(x) = f(x) \end{align}$ Im Zähler des Bruches wurde die Potenz jetzt um $\begin{align} 1 \end{align}$ reduziert. Leider kann man denselben Trick nicht gleich wieder anwenden. Deshalb dividieren wir erst durch $\begin{align} x \end{align}$ : $\begin{align} \frac{F(x)}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} x^{n-1} \end{align}$ Und jetzt bilden wir wieder eine Stammfunktion: $\begin{align} G(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} x^n \, , \ \ G'(x) = \frac{F(x)}{x} \end{align}$ Jetzt sind wir am Ziel, denn die letzte Reihe hat den Wert $\begin{align} x \cdot \operatorname{e}^x \end{align}$ , also $\begin{align} G(x) = x \operatorname{e}^x \end{align}$ . Einmal ableiten: $\begin{align} \frac{F(x)}{x} = (x+1) \operatorname{e}^x \, , \ \ F(x) = x(x+1) \operatorname{e}^x \end{align}$ Und noch einmal ableiten: $\begin{align} f(x) = \left( x^2 + 3x + 1 \right) \operatorname{e}^x \end{align}$ Und jetzt $\begin{align} x=1 \end{align}$ einsetzen. Und da gibt es sicher noch andere Möglichkeiten, den Reihenwert zu berechnen.
06.11.2016, 20:22	der_unkluge	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das mit der Stammfunktion ist mir ein wenig zu hoch, hatten auch noch keine Ableitungen etc... Aber danke dennoch

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