Betragsungleichung lösen

06.11.2016, 19:16

Thon

Betragsungleichung lösen

Irgendwie passt mein Ergebnis nicht mit dem richtigem Ergebnis also L:[-3,1/5]
Ich finde einfach meinen Fehler nicht. Und wir müssen diese Falluntscheidung machen.

$\begin{align*} |3x+2| \leq |1-2x| \end{align*}$
$\begin{align*} |3x+2|:={\begin{cases}\ \;\,\ \ 3x+2&{\text{für }}x\geq -\frac{2}{3}\\\ \;\,-(3x+2)&{\text{für }}x<-\frac{2}{3}\end{cases}} \end{align*}$

$\begin{align*} |1-2x|:={\begin{cases}\ \;\,\ \ 1-2x&{\text{für }}x\leq -\frac{1}{2}\\\ \;\,-(1-2x)&{\text{für }}x>-\frac{1}{2}\end{cases}} \end{align*}$

1.Fall: $\begin{align*} x \leq -\frac{1}{2}:-(3x+2) \leq 1-2x \Leftrightarrow x\geq -1 \end{align*}$

$\begin{align*} L_1=]-\infty,-\frac{1}{2}] \cap [-1,\infty[=[-1,-\frac{1}{2}] \end{align*}$

2.Fall $\begin{align*} -\frac{1}{2} < x < -\frac{2}{3}:-(3x+2) \leq -(1-2x) \Leftrightarrow x\leq \frac{-1}{5} \end{align*}$

$\begin{align*} L_2=]-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}[ \cap [-\frac{1}{5},\infty[=]-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}[ \end{align*}$

3.Fall: $\begin{align*} x \geq \frac{-2}{3}:3x+2 \leq -(1-2x) \Leftrightarrow x \leq -3 \end{align*}$

$\begin{align*} L_3=[-3,\infty[ \cap [\frac{-2}{3},\infty[=[\frac{-2}{3},\infty[ \end{align*}$

$\begin{align*} L_G=L_1 \cup L_2 \cup L_3 \end{align*}$

Vielen dank schonmal

06.11.2016, 19:23

Mathema

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Zitat:

Und wir müssen diese Falluntscheidung machen.

Wer sagt das? Das geht hier wesentlich einfacher.

Zu deiner Rechnung:

Hast du mal geguckt wo $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ am Zahlenstrahl liegen und welche Zahl wirklich kleiner ist?

edit: Wo kommt das Minuszeichen bei 1/2 eigentlich her?

06.11.2016, 19:52

Thon

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Frage ich mich auch Big Laugh

Hab nochmal alles durchgerechnet habe insgesamt drei Fälle bei zwei Fällen bekomme ich die leere Menge und beim letzten Fall, erhalte ich

L_3=]-unendlich,-1/5] schnitt ]-unendlich,-3] = [-3,-1/5] smile

Man hätte ja die Betragsungleichung auch durch Quadrieren lösen können, könntest du mir erklären, warum man dies kann, also ich möchte gerne verstehen, wieso das möglich ist und warum man keine Falluntersuchung machen müsste. smile

06.11.2016, 20:05

Mathema

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Quadrieren ist hier eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten positiv sind. Man erhält somit:

$\begin{eqnarray*} (3x+2)^2 \leq (1-2x)^2 \end{eqnarray*}$

Bringen wir alles nach links und wenden die 3. binomische Formel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (3x+2)^2-(1-2x)^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3x+2+1-2x)(3x+2-1+2x) \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+3)(5x+1) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Und für ein Produkt gibt es zwei Möglichkeiten negativ zu werden: Der erste Faktor ist negativ und der zweite positiv, oder der erste Faktor ist positiv und der zweite negativ. Das lässt sich hier ganz leicht ermitteln. Das Überasse ich aber dir.

Wink

06.11.2016, 20:15

Thon

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Hmm also darf man Beträge immer Quadrieren? verwirrt

Weil der Betrag ja aus einer negativen Zahl wieder eine positive Zahl macht

07.11.2016, 09:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thon
Weil der Betrag ja aus einer negativen Zahl wieder eine positive Zahl macht

Was hat jetzt dieses Argument mit dem Quadrieren zu tun? verwirrt

07.11.2016, 17:26

Thon

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Hmm hatte mir überlegt egal welchen Wert man für x einsetzt, es wird ja wieder positiv also z.B.

x=-3

$\begin{align*} |3\cdot (-3) +2| \leq |1-2 \cdot (-3)| \end{align*}$

$\begin{align*} |-7| \leq |7| \end{align*}$

$\begin{align*} |-7|=7 \end{align*}$ verwirrt

Wenn ich nicht falsch liege Big Laugh

Also deshalb wirds ja immer wieder positiv, wenn man die Betragszeichen auflöst

08.11.2016, 09:19

klarsoweit

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Dagegen ist nichts einzuwenden. Du kannst aber auch Quadrieren und damit das Betragszeichen auflösen:

$\begin{eqnarray*} |a| < |b| \Leftrightarrow |a| \cdot |a| < |b| \cdot |b| \Leftrightarrow |a|^2 < |b|^2 \Leftrightarrow a^2 < b^2 \end{eqnarray*}$

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