Levi-Civita-Tensor

06.11.2016, 20:40

Einstein1879

Levi-Civita-Tensor

Guten Abend,

wie schreibt man das folgende Produkt in vektorieller Form?

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}a_na_rb_mc_t \end{eqnarray*}$

Trotz langen überlegen und ausprobieren komme ich leider auf kein Ergebnis.

07.11.2016, 10:47

Ehos

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Benutze die folgenden 2 Formeln, welche du aus der Vorlesung kennen solltest:

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}=\delta_{nr}\delta_{ls}-\delta_{ns}\delta_{lr} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}=\delta_{ms}\delta_{lt}-\delta_{mt}\delta_{ls} \end{eqnarray*}$

Das Produkt beider Ausdrücke lautet demnach

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}=(\delta_{nr}\delta_{ls}-\delta_{ns}\delta_{lr})\cdot (\delta_{ms}\delta_{lt}-\delta_{mt}\delta_{ls})=\underbrace{\delta_{nr}\delta_{ls}\delta_{ms}\delta_{lt}}_{\delta_{nr}\delta_{mt}}-\underbrace{\delta_{ns}\delta_{lr}\delta_{ms}\delta_{lt}}_{\delta_{nm}\delta_{rt}}-\underbrace{\delta_{nr}\delta_{ls}\delta_{mt}\delta_{ls}}_{3\delta_{nr}\delta_{mt}}+\underbrace{\delta_{ns}\delta_{lr}\delta_{mt}\delta_{ls}}_{\delta_{nr}\delta_{mt}} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite kann man die Summanden Nr. 1+3+4 zusammenfassen und erhält

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}=-\delta_{nm}\delta_{rt}-\delta_{nr}\delta_{mt} \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist also

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}a_na_rb_mc_t=(-\delta_{nm}\delta_{rt}-\delta_{nr}\delta_{mt})a_na_rb_mc_t=-\delta_{nm}\delta_{rt}a_na_rb_mc_t-\delta_{nr}\delta_{mt}a_na_rb_mc_t=-a_mb_m a_tc_t-a_ra_rb_tc_t \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite kann man vektoriell schreiben als

$\begin{eqnarray*} -(\vec a\cdot \vec b)\cdot (\vec a\cdot \vec c)-(\vec a\cdot \vec a)\cdot (\vec b\cdot \vec c) \end{eqnarray*}$

08.11.2016, 20:33

Einstein1879

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@Ehos,

ich danke dir recht herzlich.

Wie man auf die beiden obigen von dir genannten Formeln kommt ist mir bekannt.

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

In der letzten Zeile hast du zum Schluss die Indizes einfach umbenannt, oder?

09.11.2016, 09:02

Ehos

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Im letzten Schritt der vorletzen Formel habe ich die Regel benutzt, wonach das Kronecker-Delta einen Indexwechsel bewirkt, also

$\begin{eqnarray*} \delta_{mn}a_n=a_m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \delta_{rt}a_r=a_t \end{eqnarray*}$
usw.

Rechne trotzdem alles nochmal selbst nach. Bei dem Index-Salat kann man schnell etwas übersehen.

09.11.2016, 18:48

Einstein1879

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Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}a_na_rb_mc_t=(-\delta_{nm}\delta_{rt}-\delta_{nr}\delta_{mt})a_na_rb_mc_t=-\delta_{nm}\delta_{rt}a_na_rb_mc_t-\delta_{nr}\delta_{mt}a_na_rb_mc_t=-a_mb_m a_tc_t-a_ra_rb_tc_t \end{eqnarray*}$

Müsste es nicht wie folgt lauten?

$\begin{eqnarray*} \epsilon_{inl}\epsilon_{irs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp}a_na_rb_mc_t=(-\delta_{nm}\delta_{rt}-\delta_{nr}\delta_{mt})a_na_rb_mc_t=-\delta_{nm}\delta_{rt}a_na_rb_mc_t-\delta_{nr}\delta_{mt}a_na_rb_mc_t=-a_ma_tb_nc_r-a_ra_nb_tc_m \end{eqnarray*}$

10.11.2016, 09:19

Ehos

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Ich habe keinen Fehler gefunden. Ich zeige dir nochmal den letzten Schritt der Berechnung. Zu berechnen ist

$\begin{eqnarray*} -\delta_{nm}\delta_{rt}a_na_rb_mc_t-\delta_{nr}\delta_{mt}a_na_rb_mc_t \end{eqnarray*}$

Innerhalb der 2 Produkte ordne ich die Reihenfolge der Faktoren etwas um:

$\begin{eqnarray*} -\underbrace{\delta_{nm}a_n}_{a_m} \underbrace{\delta_{rt}a_r}_{a_t} b_mc_t-\underbrace{\delta_{nr}a_n}_{a_r}\underbrace{\delta_{mt}b_m}_{b_t} a_rc_t=-a_ma_tb_mc_t-a_rb_ta_rc_t=\underbrace{-(\vec a\cdot \vec b)\cdot (\vec a\cdot \vec c)-(\vec a\cdot \vec a)\cdot (\vec b\cdot \vec c)}_{\text{Vektorschreibweise}} \end{eqnarray*}$

10.11.2016, 12:15

Einstein1879

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Ich hatte einen Denkfehler gemacht.

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