Extrema auf dem Quadrat

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AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema auf dem Quadrat
Ich habe folgende Funktion gegeben: cos x + cosy + sin( x+y)

Davon soll ich auf dem Quadrat [0, pi/2]x [0, pi/2 ] alle lokalen und globalen Extrempunkte bestimmen.

Als erstes grad f = 0

daraus folgt: 1. - sin x + cos ( x+y)=0
2. - sin y + ( cos x+y)=0

daraus dann x=y

Nun die Art der Extrempunkte über die Hesse Matrix. Dazu die 2. partiellen Ableitungen_

f_xx= -cos x - sin (x+y)
f_xy = f_yx = - sin ( x +y )
f_yy = - cos y -sin (x+y)


Das in die Hesse MAtrix :
-cos x - sin (x+y) & - sin ( x +y )
- sin ( x +y ) & - cos y -sin (x+y)
mit x=y folgt:
cos y - sin (x+y) & - sin (x+y )
- sin (x+y ) & - cos x -sin (x+y)





Aussage der Definitheit über Hauptminoren:

1. Hauptminor immer negativ im 1. Quadraten

2. Hauptminor ist die Determinante: (- cos y - sin(x+y)*( - cos x - sin ( x+y )) - (sin^2 (x+y)

Das ist aber positiv im 1. Quadranten. Die Matrix also indefinit. Wo ist mein Fehler?


Wie finde ich des weiteren die Extrema auf dem Rand?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bitte benutze doch beim nächsten mal bitte unseren Formeleditor. So ist dein Text (gerade die Matrix) kaum zu entziffern und letztendlich möchtest du ja, dass den Text auch jemand lesen möchte.

Du hast bei der Bestimmung der kritischen Stellen zu früh aufgehört. ist nur eine notwendige Bedingung. Du musst jetzt immernoch herausfinden, wann dann gilt. Das ist sicherlich nicht für jedes richtig.

Zitat:
Das ist aber positiv im 1. Quadranten. Die Matrix also indefinit. Wo ist mein Fehler?

Schau dir das Hauptminorenkriterium nochmal an. Aus deinen Ergebnissen folgt nicht indefinitheit, sondern negative Definitheit. Den Extremstellen auf dem Rand können wir uns widmen, wenn du die im Inneren richtig bestimmt hast.
 
 
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre die Lösung dann einfach pi / 3 im 1. Quadranten?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich meine pi/6
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du meinst, dann ja. Hat sich dein Missverständnis mit dem Kriterium geklärt?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

ja dankesmile

dann folgt doch für die Hesse Matrix an der Stelle y=x= pi/6


-sqrt(3) & -1/2 sqrt(3)

-1/2 sqrt(3) & -sqrt(3)


diese ist negativ Definit also ein lokales Maximum.

Wie gehe ich am Rand jetzt vor??
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, am Rand gilt entweder x=0 und y beliebig oder x=pi/2 und y beliebig. Dann gibt es noch die umgekehrten Fälle, die du dir aus Symmetriegründen aber sparen kannst. Das kannst du einsetzen und von der verbleibenden Funktion, die nur noch auf [0,pi/2] lebt nochmal Extrema bestimmen.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Das Extrema im Inneren ist nicht global oder wie finde ich das raus??


Wie bilde ich da die Funktionen in den beiden eindimensionalen Fällen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Extrema im Inneren ist nicht global oder wie finde ich das raus??


Darum kannst du dich erst kümmern, wenn du alle Extrema kennst.

Zitat:
Wie bilde ich da die Funktionen in den beiden eindimensionalen Fällen?

Naja, zum Beispiel für bekommst du .
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dass dann nach y ableiten und gleich 0 setzen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber auch die Randpunkte nicht vergessen.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

die erste Ableitung wäre dann - sin y + cos y =0

daraus dann siny = cos y

Lösung ist y=pi/4

die 2. Ableitung ist :
-cos y - siny
mit pi/4 folgt

Term ist kleiner 0 also ein Maximum

und was muss ich jetzt noch machen?


Was meinst du mit Randpunkten?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt ist also ein potentielles lokales Maximum auf dem Rand. Ob er dies wirklich ist, kannst du z.B. herausfinden, wenn du dir mal anschaust.

Zitat:
Was meinst du mit Randpunkten?
Die 4 Ecken des Definitionsbereichs.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Warum mit f_x ...Kann ich das nicht mit der 2. Ableitung im eindimensionalen machen, wie ich es gemacht habe?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist das folgende: Du hast zwar richtig herausgefunden, dass der Punkt ein Maximum ist, wenn wir uns auf dem Rand bewegen, aber die Funktion lebt ja nicht nur auf dem Rand. Mit der Ableitung können wir überprüfen, ob die Funktion, wenn wir uns vom Rand weg in positive x-Richtung bewegen eventuell größer wird. Wäre dies der Fall, so kann der betroffene Punkt natürlich kein lokales Maximum der Funktion sein.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

f_x = -sin x + cos (x+y ) mit (0, pi/4) folgt dann f_x= sqrt(2)/2

was sagt mir das ?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

d.h es ist ein Minimum?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es kann auch kein Minimum sein, denn wenn du dich auf dem Rand bewegst, wird der Funktionswert ja kleiner, das hast du doch vorher schon herausgefunden verwirrt
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist es dann?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Na nichts von beidem, es ist halt kein Extrempunkt.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

aso dann fehlt noch x = pi/2

daraus dann cos y + sin( pi/2 + y )

die 1. Ableitung wäre dann - sin y + cos (pi/2 +y ) = 0
sin y = cos (pi/2 + y )

Lösung wäre doch y=0.

Stimmt das .

Wie argumentiere welche Art von Extrempunkt es ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Lösung wäre doch y=0.


Ja richtig. Hier kannst du jetzt das gleiche Verfahren anwenden, um herauszufinden, ob das wirklich ein Extrempunkt ist. Lass dir doch bitte nicht alles vorkauen, das hatten wir doch gerade schon.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

f_x= - sin x + cos(x+y) mit (pi/2, 0)

daraus folgt - 1 +0=-1

also hat man ein Maximum?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bedenke, dass wir uns hier in negativer x-Richtung aus dem Rand herausbewegen, nicht in positiver. Wenn man eine negative Ableitung hat und sich in negative Richtung bewegt, dann steigt der Funktionswert an.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann ein Minimum
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich jetzt das mit der Globalität und Lokalität hin?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert, wenn wir uns auf dem Rand bewegen?

Du bist viel zu ungeduldig. Wie willst du denn herausfinden, ob das lokale oder globale Extremstellen sind, wenn du noch nicht alle davon kennst? Globale Extremstellen sind jene mit den größten (oder kleinsten) Werten. Das kannst du natürlich nicht sagen, wenn du nicht alle Extremstellen kennst.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

ICh habe die beiden anderen Seiten vergessen oder?

Da gibt es auch dann ein Minimum?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will jetzt schlafen gehen. Noch ein paar Tipps auf den Weg:

Zitat:
Da gibt es auch dann ein Minimum?


Dafür solltest du meinen vorigen Beitrag nochmal lesen. Du schaust dir die Ableitung in eine Richtung an, siehst, dass das in der Richtung ein Minimum sein müsste und vergisst dann einfach alle anderen Richtungen. Genau das gleiche hast du bei dem anderen potentiellen Punkt doch auch gemacht, wieso hier schon wieder?

Wenn du das richtig überprüft hast, nutze die Symmetrie aus, das Teil ist symmetrisch in x und y. Am Ende die 4 Eckpunkte nicht vergessen. Zwei davon hast du schon abgehakt, weil der Punkt, den du dir jetzt gerade ansiehst, ja einer davon ist, der gegenüber davon ist dann wegen Symmetrie erledigt. Bleiben noch zwei. Die untersuchst du dann noch genauso und bist dann fertig. Wenn du damit alle Extremstellen gefunden hast, suchst du dir diejenigen mit größtem bzw. kleinstem Wert heraus, welches dann deine globalen Extrema sind. Alle anderen sind lokal.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich verstehe es noch nicht ganz. Welche Expunkte muss ich noch anschauen. Nicht einfach den (pi/2, pi/2)?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Eckpunkte, die du noch nicht untersucht hast. Der von dir angesprochene ist einer davon.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Bei x=y= pi/2 ist doch f = 0

f_x= 0

Das ist doch dann gar nichts oder
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann f kleiner als Null werden?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht doch nicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also...?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Aso dann ein Minmum?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

der letzte Punkt wäre noch x beliebig y= pi/2

daruans dann cos x + sin ( x+ Pi/2)

1. Ableitung: -sin x + cos( x+ pi/2)

sin x = cos ( x+ pi/2 )

daraus folgt x= 0
f_x = 1

Das wäre wieder kein Extremum. So richtig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aso dann ein Minmum?

Überlege dir selbst, ob das richtig ist. Du kennst ja alle Argumente. Du musst selbst überzeugt sein.

Zitat:
der letzte Punkt wäre noch x beliebig y= pi/2

Ja, auch wenn das aus Symmetriegründen schon ohne die Rechnung gefolgt wäre. Du hattest doch den gegenüberliegenden Punkt schon untersucht. Damit hast du 3 der 4 Eckpunkte untersucht.
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es ist ein Minimum, da die Funktion ja nicht kleiner werden kann. Welcher Eckpunkt fehlt jetzt noch?
AndiStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt fehlt noch x=y=0
daraus folgt f=1
f_x=0
daraus folt dass es ein Maximum ist.
Stimmt das so?
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