Intervallverschachtelung

07.11.2016, 00:03	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallverschachtelung Guten Abend, gegeben seien die Intervalle $\begin{eqnarray} I_n:=\left[a_n,b_n\right]a_n \leq b_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I_{n+1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N. \end{eqnarray}$ Gezeigt werden soll nun, wie man aus dem Vollständigkeitsaxoim folgern kann, dass $\begin{eqnarray} \bigcap_{n \in \mathbb N} I_n \neq \emptyset \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , d.h. man soll nachweisen, dass es mindestens eine reelle Zahl gibt, die in allen Intervallen enthalten ist. Zuerst soll gezeigt werden, dass die Menge $\begin{eqnarray} A=\left\{a_1,a_2,a_3,...\right\} \end{eqnarray}$ ein Supremum S besitzt. Man kann analog auch zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} B=\left\{b_1,b_2,b_3,...\right\} \end{eqnarray}$ ein Infimum I besitzt und dass $\begin{eqnarray} S \leq I \end{eqnarray}$ sein muss. Ich soll S oder I oder beide benutzen, um die Behauptung zu zeigen.

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