Arbeitsintegral Vektorfeld

07.11.2016, 10:14	Deniz_Demir	Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeitsintegral Vektorfeld Meine Frage: Hallo Zusammen, vorab vielen Dank für die Antowrten! Aufgabenstellung: Skizzieren Sie das Vektorfeld der Kraft F(x1,x2) = ( x1^2 - x2^2) ( x1x2 + 1 ) Welche Arbeit verrichtet die Kraft F an einem Teilchen, das sich entgegen dem Uhrzeigersinn um ein Dreieck mit den Punkten (0,0),(2,0) &(0,2) bewegt? Prarmetriseieren Sie hierfür zuerst die Kurve, entlang derer sich das Teilchen bewegt. Skizziert habe ich den ganzen Spaß schon. Problem habe ich mit der Parametrisierung der Kurve. Liebe Grüße Deniz Demir Meine Ideen: Die Strecke zwischen den Punkten des Dreiecks als Weg annehmen, sodass ich über die Summe der 3 Vektoren das Arbeitsintefgral bestimmen kann. Verwirren tut mich aber in der Aufgabenstelltung die Aussage "Prarmetriseieren Sie hierfür zuerst die Kurve, entlang derer sich das Teilchen bewegt."
07.11.2016, 12:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeige dir mal die Berechnung für eine Seite des Dreieckes: Zum Beispiel lautet die Parametriserung des Weges vom Punkt (2;0) zum Punkt (0;2) wie folgt $\begin{eqnarray} \vec x(t)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t \in [0;1] \end{eqnarray}$ Die 1.Ableitung des Weges nach dem Parameter lautet also $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Arbeitsintegral entlang dieses Weges lautet $\begin{eqnarray} W=\int_{(2;0)}^{(0;2)} \vec F\,d\vec x=\int_{0}^{1} \vec F\cdot \tfrac{d\vec x}{dt}\,dt=\int_{0}^{1} \underbrace{\begin{pmatrix} x_1^2-x_2^2 \\ x_1x_2+1 \end{pmatrix}}_{\vec F}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\tfrac{d\vec x}{dt}}\,dt \end{eqnarray}$ Berechne das Skalarprodukt im Integranden und rechne dann das Integral aus. Bei den anderen beiden Seiten läuft die Rechnung analog.

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