Lösung ständig falsch bei Integralbeispiel

07.11.2016, 18:50

Mathman91

Lösung ständig falsch bei Integralbeispiel

Hallo,

ich habe folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2-x}{\sqrt{x} } dx \end{eqnarray*}$

So habe ich angefangen zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx - \int \frac{x}{\sqrt{x}} dx =<br /> <br /> 2*\int x^{-\frac{1}{2} } dx - \int x*x^{-\frac{1}{2} } \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

Aus:

$\begin{eqnarray*} 2*\int x^{-\frac{1}{2} } dx \end{eqnarray*}$

wird:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2-\frac{1}{2}-1}}{2-\frac{1}{2}-1} \end{eqnarray*}$

Nur was wird aus:

$\begin{eqnarray*} x*x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ?

MfG

07.11.2016, 19:15

cmplx96

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Hallo,

die Lösung des ersten Integrals:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 4 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Du addierst im Exponenten eine 1 und dividierst den Faktor durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das zweite Integral lässt sich mit partieller Integration lösen:
$\begin{eqnarray*} \int u(x) \cdot v(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) dx \end{eqnarray*}$
Tipp: wähle $\begin{eqnarray*} u(x) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) = x^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2016, 19:47

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x\cdot x ^{-\tfrac12} =\sqrt x \end{eqnarray*}$ smile

aber deswegen ist die partielle Integration nicht falsch, nur ein bisschen umständlich

07.11.2016, 19:55

cmplx96

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oh man

12.11.2016, 14:14

Mathman91

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Dieses Beispiel soll aber mit Faktor und Summenregel gelöst werden.
Mir ist schon klar, das man diese auch mit der Produktintegation lösen kann.

MfG

12.11.2016, 14:27

Dopap

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RE: Lösung ständig falsch bei Integralbeispiel
[quote]Original von Mathman91
Hallo,

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2-x}{\sqrt{x} } dx =\int \frac {2}{\sqrt x} \dd x -\int \sqrt x \dd x =2\int \frac {1}{\sqrt x} \dd x + \int -\sqrt x \dd x \end{eqnarray*}$

jetzt hast du Faktor- und Summenregel

12.11.2016, 17:35

cmplx96

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Zitat:

Original von Mathman91
Dieses Beispiel soll aber mit Faktor und Summenregel gelöst werden.
Mir ist schon klar, das man diese auch mit der Produktintegation lösen kann.

MfG

Sag das doch gleich...

14.11.2016, 09:52

Mathman91

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Ich verstehe nicht ganz, wie aus:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 4 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

wird?

Und wie wird aus:

$\begin{eqnarray*} x\cdot x ^{-\tfrac12} =\sqrt x \end{eqnarray*}$
?

x*x = x^2.

Muss ich hier in der Hochzahl 2 -1/2 +1 nehmen?

MfG

14.11.2016, 10:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Ich verstehe nicht ganz, wie aus:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 4 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

wird?

Dann leite doch mal $\begin{eqnarray*} 4 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ab. smile

Zitat:

Original von Mathman91
Muss ich hier in der Hochzahl 2 -1/2 +1 nehmen?

Das hängt davon ab, welche Potenzen da multipliziert werden. Generell gilt $\begin{eqnarray*} x^a \cdot x^b = x^{a+b} \end{eqnarray*}$ .

Und nochmal die Integralregel: $\begin{eqnarray*} \int x^q ~dx = \frac{1}{q+1}x^{q+1} + C \end{eqnarray*}$ für alle reellen q ungleich -1 .

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