Grenzwert von Folge beweisen

07.11.2016, 19:56	Thomas M.	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folge beweisen Meine Frage: Hallo, ich sitze vor einer Aufgabe, bei der ich den Grenzwert einer Folge beweisen soll. Die Folge lautet: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{7n^7 (1+\frac{1}{n!})(n^3 - 1)}{(n^3 + 2)(2n^5 + 1)(n+1)^2} \end{eqnarray}$ Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und einen Tipp geben ... Meine Ideen: Ich habe mal den Grenzwert "abgeschätzt" -> die Folge konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \frac{7}{2} \end{eqnarray}$ . Beweise möchte (muss) ich mit der Definition für Konvergenz: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 ~ \exists n_0 \in \mathbb N ~ \forall n \geq n_0 : \|a_n - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Um dies nun zu zeigen, habe ich folgendermaßen begonnen: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ beliebig $\begin{eqnarray} \Rightarrow - \epsilon < a_n - \frac{7}{2} < \epsilon \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} n_0 > ? \end{eqnarray}$ ... An dieser Stelle tritt mein Problem auf. Normalerweise würde ich die Ungleichung von der Zeile darüber (in der Regel hatten wir bis jetzt nur den Fall, dass $\begin{eqnarray} a_n - \frac{7}{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ (was bedeuten würde, dass man nur den Teil $\begin{eqnarray} \frac{7}{2} < \epsilon \end{eqnarray}$ betrachten muss - was mich aber nicht stört, ich würde einfach die Gleichung trennen und beide Seiten berechnen und dann das Maximum nehmen) auf die Form $\begin{eqnarray} f(\epsilon) < n \end{eqnarray}$ umformen. Dann würde ich mit dem Beweis fortfahren und ein beliebiges $\begin{eqnarray} n_0 > f(\epsilon) \end{eqnarray}$ wählen.
07.11.2016, 22:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Thomas, bist du dir sicher, dass du nur die Definition verwenden darfst und nicht etwa auch Grenzwertsätze? Das würde ich ganz gerne erst einmal klären, denn im Aufwand ist das schon ein größerer Unterschied.
08.11.2016, 07:08	Biertrinker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi habt ihr Grenzwersaetze durchgenommen dann verwende die.Wichtig dass Sie die Klammer wo die Fakultät dabei ist hinter den Bruch schreiben. Diese Klammer konvergiert natürlich gegen 1.Vorne haben Sie einen Bruch wo nur Potenzen vorkommen.Zaehler und Nenner haben Grad 10 also durch n hoch 10 teilen.Viel Erfolg der Biertrinker

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