Lineare Abbildungen, lin unabh. Menge und Bild der Menge

07.11.2016, 20:41

Gast17

Lineare Abbildungen, lin unabh. Menge und Bild der Menge

Meine Frage:
Seinen $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ endlichdimensionale Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} T \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ injektiv, $\begin{eqnarray*} S \in V \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist genau dann lin unabh. wenn es $\begin{eqnarray*} T(S) \end{eqnarray*}$ auch ist

Meine Ideen:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " Sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ lin unabh. Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow Ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} v \in Ker(T) \Rightarrow T(v)=0_V \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} S=\{s_1,...,s_n\} \end{eqnarray*}$ , dann lässt sich $\begin{eqnarray*} v=\lambda_1 s_1 + ... + \lambda_n s_n \end{eqnarray*}$ schreiben, mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow T(v)=T(\lambda_1 s_1 + ... + \lambda_n s_n)= \lambda_1T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n)=0_V \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nur triviale Lin.komb. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow T(S) \end{eqnarray*}$ ist lin unab.

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht so ganz sicher ob das stimmt, vor allem der Schritt mit $\begin{eqnarray*} v=\lambda_1 s_1 + ... + \lambda_n s_n \end{eqnarray*}$ ... und ich weiss ehrlich gesagt auch nicht, wie ich genau die Rückrichtung beweisen soll.. Einfach wieder das ganz von hinten nach vorne?

07.11.2016, 22:23

Guppi12

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Hallo,

du meinst sicher $\begin{eqnarray*} S\subset V \end{eqnarray*}$ , richtig?

irgendwie passt das so noch nicht wirklich. Für mich sieht es so aus, als würdest du verschiedene Dinge ein wenig durcheinander werfen.
Starte mit:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} S=\{s_1,...,s_n\} \end{eqnarray*}$

Danach nimmst du dir $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \end{eqnarray*}$ her mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt argumentiere weiter, warum daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n \end{eqnarray*}$ im Kern liegt. Verstehst du, das kannst du doch nicht einfach vorher festlegen. Du nimmst dir die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ nicht auf der Seite von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , sondern auf der von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ her.

Zitat:

und ich weiss ehrlich gesagt auch nicht, wie ich genau die Rückrichtung beweisen soll.

Naja, es gäbe hier den Weg, $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ als Bijektion $\begin{eqnarray*} V\to T(V) \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Dann folgt die Rückrichtung aus der Hinrichtung für $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Das würde ich aber nicht machen, denn die Rückrichtung braucht eigentlich garkeine Injektivität, die gilt immer und das würde bei diesem Weg unbeobachtet bleiben.

Für die Rückrichtung nimmst du dir eben $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n = 0 \end{eqnarray*}$ her und versuchst, irgendwie abzuleiten, dass dies die triviale Linearkombination ist. Fällt dir dazu nichts ein?

07.11.2016, 23:15

Sito

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RE: Lineare Abbildungen, lin unabh. Menge und Bild der Menge
Zuerst einmal vielen Dank für die Antwort!

Richtig, ich habe $\begin{eqnarray*} S \subset V \end{eqnarray*}$ gemeint. Leider sind meine Latex Fähigkeiten nicht die Besten.^^

Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht ganz verstehe wieso man das so macht. Es wird doch gerade von mir erwartet, dass ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =...=\lambda_n= 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Wieso wählt man genau das als Ansatz?

Aber ich will dennoch deinen Vorschlag versuchen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} S=\{s_1,...,s_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .
Nun sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \Rightarrow T(\lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ linear ist gilt $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n =0 \end{eqnarray*}$ . Da alle Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

Bei der Rückrichtung denke ich auch, dass man davon ausgehen sollte, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt bijektiv sein muss.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n = 0 \Rightarrow T(\lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n ) = T(0) \Rightarrow T(\lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n ) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) =0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T(s),...,T(s_n) \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Achja, dass hier wäre dann wieder Gast17, nur angemeldet (ganz vergessen, dass ich hier einen Account hatte).^^

08.11.2016, 08:35

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \Rightarrow T(\lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ linear ist gilt $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n =0 \end{eqnarray*}$ . Da alle Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

Wo genau geht hier jetzt die Inkektivität ein?

Die Rückrichtung ist so ok.

Zitat:

Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht ganz verstehe wieso man das so macht. Es wird doch gerade von mir erwartet, dass ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =...=\lambda_n= 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Wieso wählt man genau das als Ansatz?

Das ist absolut nicht, was erwartet wird. Dass diese Linearkombination 0 ist, wenn alle Lambas gleich 0 sind, ist vollkommen offensichtlich und hat nichts mit linearer Unabhängigkeit zu tun. Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, dass diese Linearkombination den Wert 0 hat, ist, dass all jene Lambdas schon den Wert 0 hatten. Daher muss man, um dies nachzuweisen, sich beliebige Lambdas her nehmen (die a priori nicht 0 sein müssen) und dann zeigen, dass, falls die zugehörige Linearkombination mit den betrachteten Vektoren die 0 ergibt, doch schon jedes Lambda gleich 0 gewesen sein muss.

09.11.2016, 16:10

Sito

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Zitat:

Wo genau geht hier jetzt die Inkektivität ein?

Naja, wegen der Injektivität folgt $\begin{eqnarray*} \ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ und daraus kann man dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} T(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ und daraus folgt dann eben die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n=0_V \end{eqnarray*}$ usw.

09.11.2016, 16:44

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Sito
... daraus kann man dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} T(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ ...

T ist ein Homomorphismus zwischen Vektorräumen. Für so einen gilt immer $\begin{eqnarray*} T(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ . Das hat nichts mit der Injektivität zu tun.

BTW: Deine Latex-Fähigkeiten heben sich sehr positiv von vielen Erstsemestern ab.

09.11.2016, 17:52

Sito

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Zitat:

BTW: Deine Latex-Fähigkeiten heben sich sehr positiv von vielen Erstsemestern ab.

Danke, das üben während dem Gym. hat sich ja schlussendlich doch ausgezahlt.^^

Zitat:

Das hat nichts mit der Injektivität zu tun.

Die Injektivität besagt doch, dass jedem Wert aus dem Definitionsbereich eindeutig ein Element aus dem Zielbereich zugeordnet werden kann. Bedeutet das, dass wenn ich gezeigt habe, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$ sind, es auch keine andere Lin.komb. gibt mit der ich den Nullvektor darstellen kann?

10.11.2016, 12:36

RavenOnJ

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Wenn $\begin{align*} T \end{align*}$ nicht injektiv wäre, dann könnten die Vektoren in $\begin{align*} S \end{align*}$ linear unabhängig sein, während die $\begin{align*} T(v_i) \end{align*}$ dies nicht notwendiger sein müssen. Man kann sich dies folgendermaßen klar machen: Sei $\begin{align*} T \end{align*}$ nicht injektiv, also $\begin{align*} \operatorname{ker} T\not=\{0_V\} \end{align*}$ . Nun wählt man n linear unabhängige Vektoren $\begin{align*} S:=\{v_i\},v_i\not\in\operatorname{ker} T \end{align*}$ , sodass der von den $\begin{align*} v_i \end{align*}$ aufgespannte Unterraum $\begin{align*} \operatorname{span}(S) \end{align*}$ einen nichttrivialen Schnitt mit $\begin{align*} \operatorname{ker} T \end{align*}$ hat., also $\begin{align*} \operatorname{span}(S)\cap \operatorname{ker} T\not=\{0_V\} \end{align*}$ . Dann gibt es $\begin{align*} \lambda_i \end{align*}$ nicht alle gleich 0 mit $\begin{align*} \sum\limits_{i=0}^n\lambda_i v_i =v_x\in\operatorname{ker} T \end{align*}$ , denn die $\begin{align*} v_i \end{align*}$ bilden eine Basis dises Unterraums, d.h. jeder Vektor aus diesem Unterraum lässt sich durch eine Linearkombination der Basisvektoren darstellen. Es folgt

$\begin{align*} T\left(\sum\limits_{i=0}^n\lambda_i v_i\right) =\sum\limits_{i=0}^n\lambda_i T(v_i)=T(v_x)=0_W \end{align*}$

die $\begin{align*} T(v_i) \end{align*}$ sind also linear abhängig, obwohl die $\begin{align*} v_i \end{align*}$ linear unabhängig sind.

Für die $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ -Richtung benötigt man also die Injektivität. Dies lässt sich wohl am einfachsten mittels modus tollens zeigen, d.h. aus linearer Abhänggigkeit der $\begin{align*} T(v_i) \end{align*}$ folgt unter der Voraussetzung $\begin{align*} \operatorname{ker} T=\{0_V\} \end{align*}$ , dass auch die $\begin{align*} v_i \end{align*}$ linear abhängig sein müssen.

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