Komplexe Zahlen / Punktmenge

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der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen / Punktmenge
Hi,

wir müssen komplexe Zahlen bzw. deren Punktmengen in der Gaußschen Ebene einzeichnen. Problem dabei: Haben das eigentlich nie richtig durchgemacht.

Nun zur Frage:



Nun weiß ich dass (exemplarisches Hausnummernbeispiel):



die Punkte im Kreis (mit Radius 3) sind, für welchen der Mittelpunkt bei Im (0), Re(-1) liegt,
bei obrigem Beispiel jedoch tu ich mir schwer mit dem Auflösen.

Habe versucht die Einzelnen Beträge zu quatrieren und die Ungleichung "aufzulösen".
Danach bekam ich allerdings raus

bzw.

Ist das denn nun richtig? Heißt dass ich müsste alle Punkte oberhalb der X-Achse "einzeichnen" bzw. "skizzieren"?

Ich tu mir schwer das zu interpretieren.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden; deswegen machen solche Aussagen wie oder keinen Sinn.
Bei deinem Beispiel meinst du sicherlich .

Du kannst in deiner Ungleichung setzen und dann auf beiden Seiten den Betrag ausrechnen.

Oder du überlegst es dir geometrisch: Du suchst alle Punkte in der Gaußschen Zahlenebene, deren Abstand zu -1 kleiner ist als der Abstand zu 1. Welche sind das?
 
 
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

okay, jz habe ich das Gefühl, dass alles was ich glaubte für die Berechnung der Punkte zu wissen, nicht stimmt.

Was die geometrische Überlegung betrifft, so würde ich sagen, dass es für alle Zahlen im negativen Teil der Realachse gilt. Sprich, alles rechts der i-Achse.

Aber wie kann ich das nun berechnend darstellen?

Das mit dem Betrag ausrechnend war eigentlich mein Plan, aber nun bin ich verunsichert.

Ich hätte:



versucht aufzulösen, aber ich nehme an das ist der falsche Weg?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_unkluge
Was die geometrische Überlegung betrifft, so würde ich sagen, dass es für alle Zahlen im negativen Teil der Realachse gilt. Sprich, alles rechts der i-Achse.

Du meinst bestimmt das andere rechts? Also links? Augenzwinkern

Zu dem anderen Ansatz:
Du hast die Zahlen falsch konjugiert.

Und etwas schneller geht es mit der Formel: bzw. .
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann,
ich meinte tatsächlich links (sorry sitze seit stunden an diversen aufgaben und mit nicht mehr ganz denkfähig).

Dürfte ich fragen wo ich sie falsch konjugiert habe? Es gilt doch:

ist konjugiert
und wenn ich dann noch ein +1 dabei habe oder eben ein -1 müsste das doch konjugiert auch das Vorzeichen ändern?

Die Formel für den Betrag von "z" ist mir bekannt, aber in dem Fall habe ich ja z+1.
Daher kam eben meine Überlegung, dass ich es wirklich ausmultipliziere.

Wo stehe ich denn hier auf dem Schlauch? unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_unkluge
und wenn ich dann noch ein +1 dabei habe oder eben ein -1 müsste das doch konjugiert auch das Vorzeichen ändern?

Nein, eben nicht. Du musst nur das Vorzeichen des Imaginärteils ändern. Die 1 ist aber eine reelle Zahl, ändert also nur den Realteil der Zahl.

Zitat:
Original von der_unkluge
Die Formel für den Betrag von "z" ist mir bekannt, aber in dem Fall habe ich ja z+1.

Dann setzt du für jetzt ein:

der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fühl mich immer etwas schlecht, wenn mir jemand was erklären will und ich nicht sofort dahinter komme es richtig zu verstehen, ich hoffe ich nage nicht allzusehr an deiner Geduld... meinst du:



bzw



bzw:



durch subtrahieren von
, und

würde übrigbleiben:



aber wie lese ich daraus, dass alle punkte der linken Seite "gesucht" sind?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_unkluge


Hier fehlt der Imaginärteil b, der weiter unten plötzlich auftaucht. Es ist auch nicht klar, wie du von dieser Ungleichung zu der nächsten gekommen bist.

Zitat:
Original von der_unkluge


Gemeint ist:

An dieser Stelle würde ich mal die Ungleichung quadrieren. smile

Zitat:
Original von der_unkluge
durch subtrahieren von
, und

würde übrigbleiben:



Was hast du denn da gerechnet? verwirrt Etwa so etwas wie: ? Da kringeln sich ja sämtliche Fußnägel. geschockt
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

wow..okay das war dumm, und das b2 sollte eine b quadrat sein.
ich versuchs nun genauer:



Quadriere ich die Ungleichung, so fallen die Wurzeln Weg, ergo:



wenn ich nun a+1 bzw a-1 zum Quadrat mit der binomischen Formel auflöse erhalte ich:



wenn ich nun Kürze, bzw alle gemeinsamen Zahlen, mit selben Vorzeichen abziehe erhalte ich:



bzw:



ist das soweit richtig? Wenn ja was sagt mir diese Ungleichung?

Edit:
Annahme:
Diese Ungleichung kann nur stimmen Wenn "a" ein negativer Wert ist.
Ist da (Beispiel)



Ist das der richtige Ansatz für die Lösung?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die letzte Ungleichung noch so umformen, daß da "a < ..." steht. Dann siehst du es deutlich. Augenzwinkern
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

Hab meinen Beitrag vorhin nur editiert, doch du warst wohl schneller:

Annahme:
Diese Ungleichung kann nur stimmen Wenn "a" ein negativer Wert ist.
Ist da (Beispiel)



Ist das der richtige Ansatz für die Lösung?


Was deinen Ansatz betrifft mit


wäre meine Überlegung:



Stimmt das so?

Angenommen ich hätte eine Ungleichung mit b<0 als Ergebnis, würde das bedeuten, es würde für alle Punkte unterhalb der "X"-Achse gelten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_unkluge


Stimmt das so?

Ja.

Zitat:
Original von der_unkluge
Angenommen ich hätte eine Ungleichung mit b<0 als Ergebnis, würde das bedeuten, es würde für alle Punkte unterhalb der "X"-Achse gelten?

Ja.
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank.

Eine Frage noch:
Kann ich im Prinzip jeden Betrag bzw. jede Punktemenge mit dieser "Idee" ausrechnen?

Beispiel: und ähnliches?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es zumindest versuchen, d.h. einsetzen und möglichst vereinfachen. Ob das dann wirklich auf eine "einfache" geometrischen Form der Lösungsmenge in der (a,b)-Ebene führt, ist natürlich nicht gesichert und hängt vom Einzelfall ab.
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht ob ich das hier nun reinposten darf oder nicht, da es das selbe Thema ist, aber ein anderes Beispiel. Falls das nicht okay geht tuts mir Leid dann mach ich ein neues Thema auf.

Aber ich kämpfe nun an einem anderen Beispiel und zwar:



In meiner Vorstellung, müsste das ein Kreis sein, der aussieht wie ein "Schwimmreifen", mit Mittelpunkt 0,3i , aber wie berechnen?

Überlegung

dann evtl quatrieren?

jetzt könnte ich (b-3)^2 auflösen



Aber jetzt habe ich ein Problem. Wie fortfahren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von der_unkluge
ich weiß nicht ob ich das hier nun reinposten darf oder nicht, da es das selbe Thema ist, aber ein anderes Beispiel.

Kein Problem. Wir lassen das jetzt mal hier drin. Allerdings scheint mir das Ganze eher in den Hochschulbereich als in den Schulbereich zu gehören.

Zitat:
Original von der_unkluge
In meiner Vorstellung, müsste das ein Kreis sein, der aussieht wie ein "Schwimmreifen", mit Mittelpunkt 0,3i , aber wie berechnen?

Ich würde da gar nicht groß rumrechnen. Der Term |z - 3i| ist gleich dem Abstand des Punktes (Re(z); Im(z)) von dem Punkt (0; 3). Alle Punkte, deren Abstand kleiner als 7 beträgt, liegen innerhalb eines Kreises um (0; 3) mit Radius 7. Und alle Punkte, deren Abstand größer als 1 beträgt, befinden sich außerhalb eines Kreises um (0; 3) mit Radius 1.
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Genau das war auch meine Idee vom Zeichnen her.

Von der Komplexität her war Ich mir nicht sicher ob Hochschul oder Schulmathematik.

Dürfte ich noch eine letzte Frage stellen?
Wie würde ich ein Problem der Form



angehen?
Eine unserer Ideen wäre quadratische Gleichung
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit wäre wieder zu setzen.

Das führt aber (falls ich mich nicht verrechnet habe) auf eine etwas unschöne Gleichung. verwirrt
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

das war auch meine erste Idee,
aber da kommen dann potenzen zum vierten grad daher und wir dürfen keine Taschenrechner verwenden
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Taschenrechner hilft dir da auch nicht viel weiter.

Rechne doch einfach mal die linke Seite aus und vereinfache so weit wie möglich.
der_unkluge Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nicht falsch gerechnet habe komme ich auf:



ergibt nach einigen Rechnungen (und um dann den Betrag loszuwerden):


Aber wie soll man das denn vernünftig auflösen :/
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme da auf etwas anderes (WolframAlpha bestätigt mir das):



Wenn man die Ungleichung noch quadriert (um die Wurzel zu beseitigen), erhält man also:



Das kannst du jetzt versuchen, nach aufzulösen. Ich habe es noch nicht bis zum Ende durchgerechnet, würde aber so anfangen:







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