Gruppenisomorphismus (Z, ?) -> (Z,+)

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Gruppenisomorphismus (Z, ?) -> (Z,+)
Meine Frage:
Hallo,

Aufgabenstellung:
(Z=ganze Zahlen)
"Sei ? : Z × Z ? Z definiert durch a ? b = a + b ? 1.

1. Zeigen Sie, dass (Z, ?) eine Gruppe ist und geben Sie das neutrale Element an.
2. Gebe Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ?) -> (Z, +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um einen Gruppenisomorphismus handelt).

Mein Problem liegt hauptsächlich bei 2., weil ich sowas noch nie hatte und es auch nicht Ansatzweise besprochen wurde, genauso wie ich im Internet leider keine vergleichbare Aufgabe finde. Wäre übrigens gut, wenn ihr 1. kontrollieren könnt.

Meine Ideen:
zu 1.:
Abgeschlossenheit:
Für alle a,b Element von Z gibt es ein mindestens ein Element c Element der ganzen Zahlen => a+b-1=c

Assoziativgesetz:
(a+b)-1=a+(b-1) für alle a,b Element von Z

Neutrales Element:
a Element von Z
a ? e = a+e-1=a
Damit dies der Fall ist muss e(das neutrale Element) der Zahl 1 entsprechen(kurz e=1)

Inverses Element:
Für jedes a Element von Z gibt es mindestens ein inverses Element a^(-1), so dass a ? a^(-1) = e

a ? a^(-1)=a+(2-a)-1=1 also ist unser inverses Element=2-a

zu 2.:

f: Z -> Z mit f(a ? b)=f(a)+f(b) für ?: Z x Z -> Z definiert durch a ? b=a+b-1

Zeige: Gruppenhomomorphismus

1) f(a+b-1)=f(a)+f(b)-f(1)

Anmerkung: Ist es richtig oder muss ich zeigen: f(a+b-1) = f(a)+f(b), wenn ich es so machen muss, was mache ich dann mit dem -1, weil es ja nicht gleich wäre oder?

2) neutrales Element bei (Z,?) ist 1 und bei (Z,+) ist es 0, stimmt dann? :
f(e)=f(1)=a+a-1=1-1=0 ,da e=neutrales Element und e=1? Wenn es nicht stimmt bitte wieder helfen :/

3) phi(2-a)=a+(2-a)-1=1
[phi(a)]^(-1)=[a+b-1]^(-1)=a+2-a-1=1
Auch hier wieder, mache ich es richtig um zu zeigen das es sich um Gruppenhomomorphismus handelt?

Jetzt noch aufzeigen das die Relation bijektiv ist, sodass aus Gruppenhomomorphismus auch Gruppenisomorphismus wird:

4) Hier war ich nun komplett verwirrt, habe mir erst sowas aufgeschrieben wie:

Surjektivität:
z Element von (Z,+)
a+b-1=z
a=z-b+1
b=z-a+1

das war dann jedoch für mich wiederum nicht surjektiv, weil ich ja für a und b unterschiedliche Werte eingeben kann, die dann wiederum auf einen Wert zeigen, also wäre Injektivität nicht gegeben.

Ich hoffe es finden sich Leute die den Ehrgeiz besitzen, sich an diese ganzen Sachen dran zu setzen und mir das Leben vereinfachen in dem sie mir aufzeigen was ich falsch gemacht habe und helfen können. Danke schon mal falls sich hier jemand findet Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man nicht lesen. Benutze bitte LATEX (hier den "f(x)"-Button) .
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