Vollständigkeitsaxiom eindeutig beweisen

08.11.2016, 16:37

Bäcker3451

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Vollständigkeitsaxiom eindeutig beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass es zwischen zwei reelen zahlen x und y eine Zahl c gibt, die eindeutig bestimmt ist. Als Voraussetzungen habe ich noch, dass y>=x ist und ein e>0 existiert mit y-x<e.

Meine Ideen:
Das heisst für mich, dass es keine andere zahl gibt die sich von c unterscheidet und x und y teilt. Ich weiss, dass es zwischen zwei reelen Zahlen unendlich viele andere gibt, ich weiss aber nicht wirklich wie ich den Beweis angehen soll.

08.11.2016, 16:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bäcker3451
Das heisst für mich, dass es keine andere zahl gibt die sich von c unterscheidet und x und y teilt.

Von welcher Art Teilbarkeit sprichst du hier? Erstaunt1

Erstaunt1

08.11.2016, 16:56

Bäcker3451

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Teilbarkeit im Sinne von, dass sie zwischen x und y liegt.

08.11.2016, 16:58

HAL 9000

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Tja, dann muss wohl eine dieser beiden Aussagen

Zitat:

Original von Bäcker3451
dass es keine andere zahl gibt die sich von c unterscheidet und x und y teilt. Ich weiss, dass es zwischen zwei reelen Zahlen unendlich viele andere gibt

falsch sein - welche wohl? Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2016, 17:01

Bäcker3451

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Da habe ich mir vielleicht unklar ausgedrückt oder ich verstehe die Aufgabe nicht richtig, es gibt zwischen 2 reellen Zahlen definitiv unendlich viele andere, aber wir sollen ja schliesslich zeigen, dass das Element c eindeutig bestimmt ist und das heisst ja wie die Eindeutigkeit von einem inversen Element, dass es kein zweites gibt.

08.11.2016, 18:19

Bäcker3451

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Wenn du nicht weiterkommst, kein Problem. Gibt sicherlich noch andere hier, die mir helfen können.

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08.11.2016, 18:28

RavenOnJ

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Poste mal die Aufgabe wortwörtlich.

08.11.2016, 18:36

Bäcker3451

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Seien X und Y zwei Teilmengen von R die nicht leer sind und y sei größer gleich x. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert ein c aus R das x und y trennt. (Für alle x und y).
Zusatz für jedes e>0 gibt es x aus X und y aus Y mit y-x<e.
Zeigen sie das die Zahl c eindeutig bestimmt ist.

08.11.2016, 19:19

Nofeys

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Zitat:

Wenn du nicht weiterkommst, kein Problem. Gibt sicherlich noch andere hier, die mir helfen können.

Was ist denn das für eine unglaubliche Arroganz, wenn du selbst nicht mal in der Lage bist, die Aufgabe richtig zu formulieren. Was du jetzt gepostet hast, ist etwas ganz anderes, als im Themenstart steht..

08.11.2016, 19:27

Bäcker3451

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Was hat das mit Arroganz zutun, wenn ich nach anderer Hilfe frage und bis aus die Diskrepanz mit "teilen" und "trennen" ist es die Aufgabe.

08.11.2016, 19:34

Nofeys

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Zitat:

Was hat das mit Arroganz zutun, wenn ich nach anderer Hilfe frage und bis aus die Diskrepanz mit "teilen" und "trennen" ist es die Aufgabe.

Nein ist es keineswegs. Dass du nicht einsehen willst, dass der Fehler bei dir liegt und stattdessen die Unfähigkeit von HAL, "bei der Aufgabe" weiterzukommen dafür verantwortlich machst, hat schon etwas mit Arroganz zu tun. Man kann bei dem Murks, den du am Anfang gepostet hast, "nicht weiterkommen". Du hast die Aufgabe entstellt und suchst den Fehler bei anderen.

08.11.2016, 19:41

Bäcker3451

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Wieso suche ich den Fehler bei anderen? Ich suche eher bei anderen eine Lösung. Des Weiteren ist das hier kein Diskussionsboard und die Regeln habe ich eingehalten, also möchte ich nicht über soetwas diskutieren.

Des weiteren muss man sich nicht ausloggen um soetwas zu schreiben geschockt

geschockt

Aber das Matheboard hat in den letzten Jahren eh sehr stark an Qualität verloren wie nicht nur ich sondern auch andere festgestellt haben. Schade eigentlich unglücklich

unglücklich

08.11.2016, 20:25

Mathema

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Zitat:

Des weiteren muss man sich nicht ausloggen um soetwas zu schreiben

Nofeys ist seit Jahren ein sehr gern gesehener Gasthelfer hier. Wenn du dich davon überzeugen möchtest, kannst du ja gerne mal nach seinen Beiträgen hier im Board suchen. Das zeigt aber schon, wie intensiv du das Board in letzter Zeit verfolgt hast (wenn ich mal Bezug auf deinen letzten Satz nehme).

Und ja, Nofeys hat recht. Der Ton macht die Musik. Ich rate dir also dringend an diesen zu überdenken und von weiteren haltlosen Spekulationen Abstand zu nehmen!

08.11.2016, 20:31

Bäcker3451

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Und kann einer die Matheaufgabe lösen?

08.11.2016, 21:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bäcker3451
Und kann einer die Matheaufgabe lösen?

It's your turn.

09.11.2016, 10:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bäcker3451
Seien X und Y zwei Teilmengen von R die nicht leer sind und y sei größer gleich x. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert ein c aus R das x und y trennt. (Für alle x und y).
Zusatz für jedes e>0 gibt es x aus X und y aus Y mit y-x<e.
Zeigen sie das die Zahl c eindeutig bestimmt ist.

Hm. Vielleicht verstehe ich die Aufgabe falsch, aber wenn ich mal X := {x aus R | x < 0} und Y := {y aus R | y > 1} wähle, dann gibt es beliebig viele c, die x und y trennen, wobei ich mal annehme, daß x aus X und y aus Y stammen, was in der Aufgabe auch nicht erwähnt wird.

Zitat:

Original von Bäcker3451
Aber das Matheboard hat in den letzten Jahren eh sehr stark an Qualität verloren wie nicht nur ich sondern auch andere festgestellt haben. Schade eigentlich unglücklich

unglücklich

Wäre nett, wenn du das irgendwie näher erklären könntest. smile

smile

09.11.2016, 10:14

Guppi12

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@klarsoweit:

Bei deiner Menge ist der Zusatz verletzt. Dieser impliziert, dass dist(X,Y) = 0.

Eine fehlerfreie Formulierung der Aufgabe könnte etwa so aussehen:

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq c\leq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ . Gibt es zusätzlich für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y-x < \epsilon \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.

09.11.2016, 11:13

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\leq c\leq y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ . Gibt es zusätzlich für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} x\in X, y\in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y-x < \epsilon \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.

So wird es sein und damit ist der Fisch praktisch gegessen, ich meine, die Lösung ist sonnenklar. Fehlt nur noch der Beweis des TE.

09.11.2016, 21:22

Bäcker3451

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Dann hilf mir mal auf die Sprünge wenn das so "sonnenklar" ist.

09.11.2016, 21:25

Guppi12

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Nimm doch mal an, es gibt zwei solche trennende Elemente $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ , die verschieden sind.
Dann wählst du $\begin{eqnarray*} \epsilon := |c-c'| \end{eqnarray*}$ .

10.11.2016, 08:59

klarsoweit

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Damit die Hürde nicht so hoch liegt, möchte ich noch ergänzen:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei c > c' . Betrachte nun y - x = y - c + c - c' + c' - x . smile

smile

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