Basis finden von Vektorraum mit Funktionen

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Basis finden von Vektorraum mit Funktionen
Hallo,

Ich hatte heute eine Diskussion über Basiswechsel, dabei wurde ein Beispel genannt, welches ich einfach nicht wirklich verstehe.

Sei mit

Finde eine Basis.


------------------------------


Es macht Sinn, dass es ein Vektorraum ist, da die Ableitung ja linear ist und somit wohl alle Axiome erfüllt.

Ich glaube, dass ich an der korrekten Intepreation von scheitere. f ist ja erstmal eine konstante Funktion - nach der Bedingung dass die Ableitung verschwindet. Weiter ist der Definitionsbereich 3 offene Intervalle die alle auf R abgebildet werden.

Ich verstehe das wie folgt: Wir bilden das gesamte Intervall D auf R ab. Also jedes subintervall nimmt einen Teil von R ein und nicht: jedes subintervall wird auf ganz R abgebildet. Da f ja konstant sein muss, gilt doch: mit


Somit würde ich sagen, dass ein möglicher Basisvektor ist und aber angeblich sei .

Ich seh einfach nicht wieso. Ich denke, es halt mit den Subintervallen zu tun und dass ich das ganze hier einfach falsch verstehe und somit eine grosse Verständnislücke habe.

Könnte mir das mal jemand etwas erläutern? smile

Was mich halt noch stört ist die Unendlichkeiten die man bei den offenen Intervallen hat. Irgenwie erwarte ich da Probleme mit einem Basisvektor. Aber ich kann das echt nicht gross in Worte fassen. Evtl. muss man wirklich jedes Subintervall jeweils auf ganz R abbilden da man sonst Probleme mit der abzählbarkeit kriegt? [Ein Thema das echt ewigs her ist und ich wohl jetz mal nachlesen sollte...]

ich bin verwirrt. :p

Merci
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

D ist nicht zusammenhängend. f muss nicht auf D konstant sein, um Ableitung 0 zu haben, sondern nur konstant auf jedem Teilintervall von D.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
D ist nicht zusammenhängend. f muss nicht auf D konstant sein, um Ableitung 0 zu haben, sondern nur konstant auf jedem Teilintervall von D.


Ja, das wurde mir auch eben "klar". Trotzdem sehe ich irgendwie nicht wieso die Dimension 3 sein soll.

Wobei, hmm. Evtl. habe ich meinen Fehler gerade gesehen. Wenn ich und erfüllt es zwar die Bedingung von oben, ist jedoch zu strikt, da die Abbildung ja ja nicht jedes Teilintervall auf die gleiche Zahl abbilden muss. [Hoffe das ist jetzt verständlich beschrieben :/]

Ich wage nun mal zu behaupten, dass folgende Menge die Menge alles möglichen Basen beschreibt:



Edit: sekunde, ich glaub da steckt noch ein Fehler drin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von balance
Wobei, hmm. Evtl. habe ich meinen Fehler gerade gesehen. Wenn ich und erfüllt es zwar die Bedingung von oben, ist jedoch zu strikt, da die Abbildung ja ja nicht jedes Teilintervall auf die gleiche Zahl abbilden muss. [Hoffe das ist jetzt verständlich beschrieben :/]

Das stimmt und ist verständlich.

Die müssen nicht verschieden sein. Sie müssen aber von verschieden sein, denn ist immer .

Du musst Basisfunktionen finden, die nicht nur auf einem Teilintervall definiert sind, sondern auf .
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du musst Basisfunktionen finden, die nicht nur auf einem Teilintervall definiert sind, sondern auf .


Genau das wurde mir gestern auch klar. Irgendwie habe ich meinen Editierten Beitrag nicht abgeschickt.

Aufjedenfall würde ich sagen, dass eine Basisfunktion folgenge Form haben muss.

Sei .

wobei

Um mein Verständnis dieses Problemes wirklich zu verstehen, wollte ich gerade ein Element aus mittels den Basisvektoren darstellen... Aber iist das nicht ganz zufriedenzustellend.

Ich möchte nun auch kurz ein Element mittels den Basisfunktionen darstellen.

Sei

Nun gilt: (1)

Also mich stört hier, dass mein g nicht von D nach R geht sondern von (0,1) nach R. Natürlich könnte ich auch D nehmen, dann wäre aber nicht bekannt welchen Basisvektor ich zur Darstellung nutzen sollte ohne dass ich weis worin x liegt. Natürlich könnte ich auch schreiben:

(2) aber es erscheint mir Sinnvolle die definitionsbedingung von x in den Vektor selbst hineinzunehmen.

Eine weitere beachtenswerte Eigenschaft dieses Vektorraumes ist, dass wir alle Element in V mittels einem der dreien Basisvektoren darstellen können. Oder?

Eine kleine Frage am Rande: Gilt (1) als Linearkombination?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist so nah dran, dass es fast unglaublich ist, dass Du die Lösung noch nicht gefunden hast. Wenn du ganz konkret in der Definition der die durch 1 ersetzt, bist Du fertig.

Hinweis: Man nennt den Vektorraum der stetigen oder differenzierbren Treppenfunktionen auf .

Begründung: Jede Funktion von mit muss auf jedem Teilintervall konstant sein. Also hat jede solche Funktion die Werte auf den Teilintervallen . Also ist , und ist eine Basis von , und offenbar
 
 
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte ich wählen? Ich seh den Unterschied nicht. Ich könnte doch auch 555 anstatt 1 wählen - sollte dem ganzen doch keinen Unterschied machen. Es ist dann einfach eine andere mögliche Basis und die a,b,c ändenr sich halt. Nicht? [Ich habe ja eine allg. Form hingeschrieben, also wähle man einfach 3 und man hat eine Basis]

Also, um mal konkret zu werden.

Ich habe die Basis:

wobei jedes auf 1 abbildet.

Ein Element wäre dann:
(rot)
(blau)

Geometrisch wäre das [attach]42939[/attach]

Oder?

Noch eine Zusatzfragen:

Sei . Dann ist oder?

Ich wies, ich kau die Aufgabe relativ stark durch :P Aber ich glaub das hilft meine mVerständnis sehr gut.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. zu wählen, ist falsch. Das lässt auch für eine oder alle 3 Zahlen die 0 zu, und damit bekommt man keine Basis. Deshalb habe ich gesagt, man muss konkret werden, z.B. wählen.

2. Die bilden nicht auf 1 ab. Sie bilden das i-te Intervall von auf 1 und die anderen beiden Intervalle von auf 0 ab.

3. Die Beispiele und die Skizze sind in Ordnung. Das sind reellwertige differenzierbare Treppenfunktionen auf mit Ableitung 0.

4. Ja, der reelle Vektorraum hat Dimension 1. Eine Basis ist
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
1. zu wählen, ist falsch. Das lässt auch für eine oder alle 3 Zahlen die 0 zu, und damit bekommt man keine Basis. Deshalb habe ich gesagt, man muss konkret werden, z.B. wählen.


Ah ja. Das ist klar. Stimmt.

Zitat:
Original von Elvis2. Die bilden nicht auf 1 ab. Sie bilden das i-te Intervall von auf 1 und die anderen beiden Intervalle von auf 0 ab.


Verstehe. Stimmt. War sehr schlecht von mir formuliert [was wohl seinen Grund hat]

Zitat:
Original von Elvis3. Die Beispiele und die Skizze sind in Ordnung. Das sind reellwertige differenzierbare Treppenfunktionen auf mit Ableitung 0.


Gut

Zitat:
Original von Elvis4. Ja, der reelle Vektorraum hat Dimension 1. Eine Basis ist


Okay, danke. Dann würde ich nun mal behaupten, ich bin zufrieden mit der Aufgabe. Danke für die gute Hilfe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

War mir ein spezielles Vergnügen, weil du gut vorgearbeitet hast und einsichtig genug bist, um noch etwas dazu zu lernen. Weiter so. Freude
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Schön zu hören smile Falls du noch magst:

ich möchte das Ganze nun aber noch schnell etwas weiter spinnen.

Es gilt wieder: mit mit der Basis und wobei:





Wir können nun die als Tupel identifizieren:



[Hier sehen wir übrigens auch die Lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren sehr einfach.]

Wir möchten nun eine zweite Basis definieren:




Wir identifizieren die Basisvektoren wieder mit Tupeln:




Wir sehen dass invertierbar und somit linear unabhängig.

Wir möchte nun die Basiswechselmatrix von nach berechnen:

Sei

Da der Vektorraum basisunabhängig ist, folgt das GLS:

wobei unsere Koeffizientenmatrix ist.

Wir bekommen also:

Somit ist \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix} die Matrix welche einen Vektor aus bezüglich der Basis frisst und ihn bezüglich der Basis darstellt. Durch invertieren dieser Basiswechselmatrix erhält man das umgekehrte.


Ich muss zugeben, die "standardbasis" zu wählen als erste Basis war evtl. nicht so gescheit - aber das Prinzip ist ja gleich.

Frage 1: Stimmt das so?
Frage 2: Was genau passierte mathematisch als ich die Basisvektoren als Tupel identifizierte?
Frage 2.1: Hat dies implizit einen Koordinatenraum aufgespannt?
Frage 3: Ich habe die lineare Unabhängigkeit gezeigt indem ich die mit den Basisvektoren identifizierten Tupel betrachtet habe - das passt so?

Nun könnte ich doch die Eigenvektoren von z.B. bestimmen und daraus eine Dualbasis und somit einen Dualraum finden. Oder?

Optional [ist echt nicht wichtig, da ich das alles erstmal noch schön für mich genauer ausarbeiten muss]
Frage 4: Was genau repräsentiert die Matrix ?

Ich möchte Frage 4 etwas erläutertn. Ein Vektorraum wird ja nicht durch eine Matrix repräsentiert, jedoch werden lineare Abbildungen von Matrizen repräsentiert. Ein Vektorraum hat jedoch einen Dualraum - immer. Dieser wird durch die zur gegebenen Basis B von V dualen Basisvektoren B* aufgespannt. Diese Basisvektoren sind z.B. die Eigenvektoren. Doch bezüglich welcher Abbildung? Ich denke ich kann jede beliebige Abbildung nehmen. Dessen Abbildugnsmatrix finden und dann die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren berechenn und somit eine Dualebasis finden. Sprich: Jedes Element in "induziert" eine andere duale Basis. Da wir aber die zu B wollen betrachten wir sozusagen die Einheitsabbildung. Dessen Matrix ist ja gerade die Matrix in welcher die Spalten die Basisvektoren sind.

Macht das Sinn? [Das wird nämlich die nächste Baustelle :P]
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis das ic heig. sagte ich sei fertig hier - aber es wäre doch noch ganz schön wenn man den Beitrag oben kurz anschauen könnte smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte das aus den Augen verloren, weil ich beim ersten Ansehen keine Zeit zum antworten hatte. Danke für deine Geduld und die Erinnerung.

zu Frage 1: Das stimmt, denn es ist . Also bilden und ihre Inverse die beiden Basen und aufeinander ab. Ich verstehe allerdings nicht, wieso Du als Zeilenvektor und als Spaltenvektor schreibst. Nach meinem Verständnis sind die Koeffizientenvektoren der Basisvektoren immer als Spaltenvektoren der Matrizen aufzufassen.

zu Frage 2: Die eine Basis als Standardbasis zu wählen ist in Ordnung, jede Basis ist in sich die Standardbasis. Mehr kann man dazu nicht sagen, denn es ist offensichtlich etc.

zu Frage 2.1: Durch die Wahl einer Basis kann jeder Vektor eindeutig als Koordinatenvektor geschrieben werden. Das zeigt, dass jeder -Vektorraum der Dimension n zum Standardvektorraum isomorph ist. Das ist der eigentliche Grund, warum Vektorräume so einfach zu beherrschen sind, egal wie kompliziert seine Elemente, die Vektoren, als Objekte beschaffen sein mögen. Man geht einfach von zu über und alle Rechnungen finden anstelle komplizierter Vektoren mit simplen Skalaren (=Körperelementen) statt.

zu Frage 3: Das stimmt, bei allen Aussagen über Vektoren, also auch bei Aussagen zu l.a., l.u. , kann man durch den Isomorphismus zu den Koordinatenvektoren übergehen.

zu Frage 4: Fragen zum Dualraum möchte ich an dieser Stelle nicht beantworten. Das wird mir zu "länglich", und deine Frage ist für mich nicht konkret genug, zu wenig durchdacht und enthält falsche Aussagen. Vorschlag: Studiere zuerst den Dualraum und frage dann in einem eigenen thread, was noch zu fragen übrig ist.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Danke - ich glaube ich muss das Thema Basiswechsel nochmal genauer anschauen.

Ich hab oben halt alles selbst hergeleitet, scheint als ob ich da n kleinen Fehler gemacht habe. Eigentlich müssten beide Matrizen Splatenvektoren sein wie du sagtest.
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