Wahrscheinlichkeit eines Dopingtests

08.11.2016, 20:57	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit eines Dopingtests Hallo zusammen, hier die Aufgabe: Bei einer olympischen Disziplin werden nach den olympischen Spielen Dopingtests zu der Substanz TDM gemacht. Die Prüfmethode zum Nachweis von TDM weißt zu 99% der tatsächlich positiven Fälle die Nutzung nach. In 5% der Fälle liefert sie jedoch ein falsches positives Ergebnis, d.h. der Test ist positiv, obwohl der Sportler kein TDM genommen hat. Weiterhin weiß man, dass 20% der Sportler TDM nehmen. Aufgaben: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler TDM genommen hat, obwohl seine Dopingprobe negativ war? b) Es werden 10 Sportler zum Test gebeten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Sportler positiv getestet wird, obwohl kein Einziger von ihnen TDM genommen hat? Nehmen Sie hierbei an, dass die Wahrscheinlichkeit zwischen den einzelnen Sportlern unabhängig sind. [attach]42933[/attach] Im Anhang befindet sich der Ereignisbaum. Meine Ideen: zu a): $\begin{eqnarray} 0.2 \cdot 0.01 = 0.002 \end{eqnarray}$ Wie kann ich das Formal richtig schreiben? $\begin{eqnarray} P(\neg B\|A) \end{eqnarray}$ ? zu c): Zunächst habe ich die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Test positiv ausfällt, obwohl der Sportler kein TDM genommen hat: $\begin{eqnarray} 0.8 \cdot 0.05 = 0.04 \end{eqnarray}$ Ich kenne jetzt leider keine Vorgehensweise. intuitiv würde ich jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, obwohl kein TDM genommen wurde ( $\begin{eqnarray} 0.04 \end{eqnarray}$ ) durch 10 dividieren. Ist das richtig? Danke im Voraus!
08.11.2016, 22:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \overline B \end{eqnarray}$ ist in Ordnung a.) nicht $\begin{eqnarray} p(A)\cdot p(\overline B\| A) \end{eqnarray}$ ist gesucht, sondern $\begin{eqnarray} p(A\|\overline B) \end{eqnarray}$ und das ist nach dem Satz von Bayes $\begin{eqnarray} p(A\|\overline B)=\frac {p(A) \cdot p(\overline B\|A)}{p(A)\cdot p(\overline B\|A)+p(\overline A)\cdot p(\overline B \|\overline A)} \leq 1 \end{eqnarray}$ kurz: gewünschter Pfad geteilt Summe aller Pfade nach $\begin{eqnarray} \overline B \end{eqnarray}$ . Im Nenner steht die totale Wkt. Hier wird von Wirkung auf Ursache geschlossen. noch ein Tipp: nicht immer A und B, verwende memorierbare Bezeichner
08.11.2016, 22:25	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! also ist a): $\begin{eqnarray} P(A\|\overline{B}) = \frac{P(A) \cdot P(\overline{B}\|A)}{P(A) \cdot P(\overline{B}\|A) + P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}\|\overline{A})} = \frac{0.2 \cdot 0.01}{0.2 \cdot 0.01 + 0.8 \cdot 0.95} = 0.0026246719160... \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 0.2625 % \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Ich habe noch eine Frage zu dem Satz von Bayes: Im Skript steht er in dieser Form: $\begin{eqnarray} P(A\|\overline{B}) = \frac{P(A) \cdot P(\overline{B}\|A)}{P(\overline{B})} \end{eqnarray}$ Bei Wikipedia sind beide Versionen angegeben. Wo ist der Unterschied und wann sollte man die eine Version bzw. die andere verwenden?
08.11.2016, 22:35	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt keinen Unterschied. In unserem Fall ist $\begin{eqnarray} p(\overline B) \end{eqnarray}$ die totale Wkt von $\begin{eqnarray} \overline B \end{eqnarray}$ Es kann aber auch vorkommen, dass $\begin{eqnarray} p(\overline B) \end{eqnarray}$ direkt angegeben wird. 3-4 gültige Ziffern genügen in der Regel.
08.11.2016, 23:19	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke! Dann müsste die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, obwohl der Sportler kein TDM genommen hat folgende sein: S = {Sportler hat TDM genommen} T = {Test fällt positiv aus} $\begin{eqnarray} P(T\|\overline{S})=\frac{P(T) \cdot P(\overline{S}\|T)}{P(T) \cdot P(\overline{S}\|T)+P(\overline{T}) \cdot P(\overline{S}\|\overline{T})} = \frac{0.8 \cdot 0.05}{0.8 \cdot 0.05 + 0.8 \cdot 0.95} = 0.05 \end{eqnarray}$ also 5% sein. Ich komme trotzdem nicht darauf, wie man bei c) jetzt die 10 Personen mit reinbringt. Meine einzige Idee ist, dass man die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, obwohl der Sportler kein TDM genommen hat durch 10 dividiert. Das wären dann $\begin{eqnarray} 0.5 % \end{eqnarray}$ Stimmt das ?
08.11.2016, 23:49	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialverteilung $\begin{eqnarray} B(10,X\geq 1,0.05) \end{eqnarray}$ über das Gegenereignis: $\begin{eqnarray} B(10,X=10,0.95) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} 1-0.95^{10} \end{eqnarray}$ Ansonsten: gute Handschrift, gute Darstellung,
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09.11.2016, 08:04	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank!

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