Integral über Betrag von Brownscher Bewegung

09.11.2016, 03:07	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Betrag von Brownscher Bewegung Hallo, kann man das stochastische Integral $\begin{eqnarray} \int _0^t \|W_s\|dW_s \end{eqnarray}$ mit dem (Standard-)Wiener-Prozess $\begin{eqnarray} (W_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray}$ in sinnvoller Weise näher bestimmen? Unter Verwendung des Lemma von Ito mit der Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{1}{2}x^2\text{sgn}(x)=\mathbf{1}_{x>0}\frac{1}{2}x^2-1_{x<0}\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray}$ komme ich auf $\begin{eqnarray} \int _0^t \|W_s\|dW_s = \frac{1}{2}W_t^2 \text{sgn} W_t - \frac{1}{2}\int_0^t \text{sgn} W_s ds \end{eqnarray}$ . Das ist aber gemogelt, da die beschriebene Abbildung mit der Signumsfunktion nicht zweimal diffbar ist. Gilt das trotzdem (oder etwas ähnliches) und falls ja, wie kann man das sauber rechtfertigen und kann man das letzte Riemann-Integral weiter umformen? Ich freue mich über jeden Kommentar.
30.11.2016, 01:55	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über Betrag von Brownscher Bewegung Inzwischen denke ich, dass eine mathematisch saubere Argumentation über ein Approximationsargument im Spirit von https://en.wikipedia.org/wiki/Tanaka's_formula verlaufen könnte.

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