Beweis ggT

09.11.2016, 08:53	MoJoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis ggT Meine Frage: Folgendes ist gegeben: ggT( a/ggT(a,b), b/ggT(a,b)) =1 also: Teilt man die Zahl a und die Zahl b jeweils durch den ggT(a,b), so ist der ggT dieser Divisionen=1. Bsp: a=54 b=42 ggT(54,42)=6 --> 54:6= 9 und 42:6=7, also ist ggT(9,7)=1 Ich verstehe, dass es so ist. Hab es auch an mehreren Bsp ausprobiert. Aber nun muss ich es BEWEISEN. Wie stelle ich das an? Meine Ideen: Da der ggT, den ich am Ende rausbekomme 1 ist, ist dieser ja tellerfremd. Kann ich damit was anfangen?
09.11.2016, 09:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich sehr einfach: Aus $\begin{align} \operatorname{ggT}\left( \frac{a}{\operatorname{ggT}(a,b)}, \frac{b}{\operatorname{ggT}(a,b)} \right) = t \end{align}$ folgt $\begin{align} t \mid \frac{a}{\operatorname{ggT}(a,b)} \end{align}$ und $\begin{align} t \mid \frac{b}{\operatorname{ggT}(a,b)} \end{align}$ , umgeschrieben $\begin{align} t\cdot \operatorname{ggT}(a,b) \mid a \end{align}$ und $\begin{align} t\cdot \operatorname{ggT}(a,b) \mid b \end{align}$ . Damit ist $\begin{align} t\cdot \operatorname{ggT}(a,b) \end{align}$ ein gemeinsamer Teiler von $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ , der aber laut Definition $\begin{align} \leq \operatorname{ggT}(a,b) \end{align}$ sein muss, d.h., es folgt $\begin{align} t\leq 1 \end{align}$ . Offenkundig ist $\begin{align} t>0 \end{align}$ , also insgesamt $\begin{align} t=1 \end{align}$ .
09.11.2016, 09:44	MoJoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, wenn ich das verfolge, dann versteh ich das auch. Ich komm nur einfach von selbst nicht drauf. Aber so ist es einleuchtend. Danke dir!
09.11.2016, 09:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeiner kann man für für alle ganzen Zahlen $\begin{align} t,u,v \end{align}$ die Beziehung $\begin{align} \operatorname{ggT}(tu,tv) = \|t\|\cdot \operatorname{ggT}(u,v) \end{align}$ nachweisen. Deine Aussage hier ist davon der Spezialfall $\begin{align} t=\operatorname{ggT}(a,b),\, u=\frac{a}{\operatorname{ggT}(a,b)},\, v=\frac{b}{\operatorname{ggT}(a,b)} \end{align}$ .

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