Deltafunktion integrieren

09.11.2016, 14:56

Biergit:P

Deltafunktion integrieren

Meine Frage:
Guten Tag,

ich muss einen Fluss ausrechnen durch die Oberfläche einer Kugel, wo das Vektorfeld gegeben ist mit:

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3} \end{eqnarray*}$

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = |\vec{r}| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben im Punkt null eine Definitionslücke, wodurch wie nicht ohne weiteres den Gaußschen Satz anwenden können.

Nun gibt es aber die Möglichkeit dies trotzdem mit der Dirac'schen Delta Funktion zu tun:

Ich Internet bin ich fündig geworden, dass folgende Identität gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{ div} \vec{F} = 4 \pi \delta (x) \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt gerne wissen wie ich dies mittels Kugelkoordinaten integrieren kann? Und eventuell einen kleinen Input für die Identität bekommen könnte, wieso dies gilt. In der Vorlesung haben wir sowas nämlich nicht behandelt und die andere Integration mittels Skalarprodukt hat soweit geklappt.

Grüße

Birgit

10.11.2016, 09:52

Ehos

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Zu berechnen ist der Fluss eines Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ durch die Kugeloberfläche

$\begin{eqnarray*} \oint \vec F \cdot \underbrace{\vec n\,\,d A}_{d\vec A} \end{eqnarray*}$

Darin setzen wir folgende 3 Größen ein:

(1) Normaleneinheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec n=\tfrac{\vec r}{r} \end{eqnarray*}$
(2) Vektorfeld: $\begin{eqnarray*} \vec F=\tfrac{\vec r}{r^3} \end{eqnarray*}$
(3) skalares Flächenelement der Kugel: $\begin{eqnarray*} dA=r^2\sin(\theta)\,\,d\phi d\theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi_0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} \tfrac{\vec r}{r^3} \cdot \tfrac{\vec r}{r}\cdot r^2\sin(\theta)\,\,d\phi d\theta \end{eqnarray*}$

Der Radius r kürzt sich völlig heraus, also $\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec r}{r^3} \cdot \tfrac{\vec r}{r}\cdot r^2=1 \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen bleibt die Oberfläche der Einheitskugel:

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} \sin(\theta)\,\,d\phi d\theta \end{eqnarray*}$

Das solltest du berechnen können.

10.11.2016, 17:55

Biergit:P

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Hey Ehos,

ja das habe ich erwähnt:

Zitat:

Original von Biergit:P
die andere Integration mittels Skalarprodukt hat soweit geklappt.

das habe ich soweit geschafft, mit dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das mit dem Gaußschen Satz berechnen kann. Also mittels, rechter Seite.

$\begin{eqnarray*} \oint_{O(K)} \vec F \cdot \vec n\,\,d A = \int_{V(K)} \text{ div } \vec{F} dV \end{eqnarray*}$

Wenn wir die Divergenz bilden haben wir eine Form von:

$\begin{eqnarray*} \text{ div } \vec{F} = \frac{r^3 - 3 x^2 r}{r^6} + \frac{r^3 - 3 y^2 r}{r^6} +\frac{r^3 - 3 z^2 r}{r^6} \end{eqnarray*}$

Und das ist halt nach Umformung null. (Nach Zusammenfassung und Vereinfachung)

D.h. wir haben: $\begin{eqnarray*} \text{ div } \vec{F} = 0 \end{eqnarray*}$

D.h. wir können das Integral so nicht berechnen.

Daher nutzt man die Identität: $\begin{eqnarray*} \text{ div } \vec{F} = 4 \pi \delta \end{eqnarray*}$ .

Und da ist mein Problem ich weiß nicht wie ich das Integrieren soll unglücklich

Und wieso diese Identität gilt.

Grüße

Birgit

11.11.2016, 10:16

Ehos

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Wenn man das Oberflächenintegral direkt berechnet, kommt der Wert $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ heraus (Dein Ergebnis $\begin{eqnarray*} \tfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist unrichtig.)

$\begin{eqnarray*} \oint \underbrace{\tfrac{\vec r}{r^3}}_{\vec F}\cdot \underbrace{\tfrac{\vec r}{r}}_{\vec n}\,\,\underbrace{r^2\sin(\theta)\,d\phi d\theta}_{dA}=\underbrace{\left (\int_{\phi=0}^{2\pi}d\phi\right )}_{2\pi}\cdot \underbrace{\left (\int_{\theta=0}^{\pi}\sin(\theta)\,d\theta \right )}_{2}=4\pi \end{eqnarray*}$

Wandelt man dieses Integral mit dem Gaußschen Satz in ein Volumenintegral um, muss dasselbe herauskommen, also

$\begin{eqnarray*} \int\int\int \text{div} \vec F\,\,dV=4\pi \end{eqnarray*}$

Wie du richtig schreibst, verschwindet die Divergenz $\begin{eqnarray*} \text{div}\left (\tfrac{\vec r}{r^3}\right ) \end{eqnarray*}$ für alle Punkte $\begin{eqnarray*} \vec r \neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ . Dagegen existiert die Divergenz des Vektorfeldes im Ursprung $\begin{eqnarray*} \vec r = \vec 0 \end{eqnarray*}$ nicht, weil dort die 3 Komponenten im klassischen Sinne nicht differenzierbar sind. Das ist wesentlich! Man kann zeigen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \text{div}\left (\tfrac{\vec r}{r^3}\right )=4\pi \cdot \delta (\vec r)=4\pi \cdot \delta (x)\cdot \delta (y)\cdot \delta (z) \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist also das Volumenintegral

$\begin{eqnarray*} 4 \pi \int \int \int \delta (x)\cdot \delta (y)\cdot \delta (z)\,\,dxdydz=4\pi \underbrace{\left (\int \delta (x)\,\,dx\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (y)\,\,dy\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (z)\,\,dz\right )}_1=4\pi \end{eqnarray*}$

Die 3 Integrale haben aufgrund der bekannten Eigenschaften der Delta-Funktion die Werte 1. Bis Montag.

14.11.2016, 08:00

Biergit:P

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Guten Morgen,

Zitat:

Original von Ehos
Wenn man das Oberflächenintegral direkt berechnet, kommt der Wert $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ heraus (Dein Ergebnis $\begin{eqnarray*} \tfrac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist unrichtig.)

Ahja ich hatte vergessen zu erwähnen, dass der Fluss durch die Oberfläche einer Kugel nur im ersten Oktanten stattfinden soll. Wenn man diesen als homogen annimmt kommt entsprechend pi/2 heraus. Ich präsentiere später sicherheitshalber zur Kontrolle meine Rechnung, damit es auch sicher ist.

Zitat:

Original von Ehos
Zu berechnen ist also das Volumenintegral

$\begin{eqnarray*} 4 \pi \int \int \int \delta (x)\cdot \delta (y)\cdot \delta (z)\,\,dxdydz=4\pi \underbrace{\left (\int \delta (x)\,\,dx\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (y)\,\,dy\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (z)\,\,dz\right )}_1=4\pi \end{eqnarray*}$
Die 3 Integrale haben aufgrund der bekannten Eigenschaften der Delta-Funktion die Werte 1.

Dort würde auch pi/2 herauskommen wenn man davon wieder 1/8 nimmt. Die "bekannte" Eigenschaft ist mir leider nicht so bekannt verwirrt

Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} \text{div}\left (\tfrac{\vec r}{r^3}\right )=4\pi \cdot \delta (\vec r)=4\pi \cdot \delta (x)\cdot \delta (y)\cdot \delta (z) \end{eqnarray*}$

Das würde ich auch gern verstehen, jedoch weder erstes noch zweites Gleichheitszeichen leuchtet ein traurig

Danke Ehos,

bis Montag, also bis später Augenzwinkern

Birgit

14.11.2016, 10:20

Ehos

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Eine exakte mathematische Berechnung des Volumenintegrals über den divergenten Ausdruck div(...) erfordert Kenntnisse im Umgang mit der Dirac'schen Deltafunktion $\begin{eqnarray*} \delta(\vec r) \end{eqnarray*}$ (allgemeiner mit Distributionen), was ich hier nicht leisten kann.

Alternativ zeige ich eine Berechnung des Volumenintegrals ohne Deltafunktion:
----------------------------------------------
Die Divergenz eines Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ lautet bekanntlich $\begin{eqnarray*} \text{div}(\vec F)=\tfrac{\partial F_1}{\partial x_1}+\tfrac{\partial F_2}{\partial x_2}+\tfrac{\partial F_3}{\partial x_3} \end{eqnarray*}$ . Daneben existiert eine koordinatenfreie Divergenz-Definition, welche anschaulicher ist: Man definiert als Divergenz den Grenzwert "Flussintegral pro Volumen", wobei für das Volumen gilt $\begin{eqnarray*} V\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \text{div}(\vec F)=\lim_{\text{Volumen} \to 0} \frac{\oint \vec F\cdot \vec n\,\,dA}{\text{Volumen}} \end{eqnarray*}$ :

(Quelle: WIKIPEDIA: Suchbegriff "Divergenz eines Vektorfeldes, Kapitel 3.2 "Koordinatenfreie Darstellung")

In deiner Aufgabe hatten wir für das Integral im Zähler den Wert $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ berechnet. Im Nenner steht das Kugelvolumen $\begin{eqnarray*} V_K \end{eqnarray*}$ . Damit vereinfacht sich die Divergenz in deiner Aufgabe zu dem Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \text{div}(\vec F)=\lim_{V_K \to 0} \frac{4\pi}{V_k} \end{eqnarray*}$

Du willst das Volumenintegral über diese Gleichung berechnen. Da die Divergenz überall verschwindet mit Ausnahme des Ursprunges, muss man nur über ein differenziell kleines Kugel-Volumen $\begin{eqnarray*} V_K \end{eqnarray*}$ integrieren, welches diesen Ursprung enthält, also

$\begin{eqnarray*} \int\int \int \text{div}(\vec F)\,\,dV=4\pi\cdot \lim_{V_K \to 0} \underbrace{\int \int \int \frac{1}{V_k} dV_k}_{=1} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite kann man das kleine Kugelvolumen $\begin{eqnarray*} V_K \end{eqnarray*}$ und das Differential $\begin{eqnarray*} dV_K \end{eqnarray*}$ "kürzen", so dass das Integral den Wert 1 ergibt. Damit bekommt man auf der rechten Seite wie gewünscht den Wert $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ .

14.11.2016, 12:44

Biergit:P

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Zitat:

Original von Ehos
Alternativ zeige ich eine Berechnung des Volumenintegrals ohne Deltafunktion:

Also das ist echt interessant, was nicht passt wird passend gemacht und es funktioniert Freude

Und es ist nicht kompliziert. Herzlichen Dank.

Zitat:

Original von Ehos
Eine exakte mathematische Berechnung des Volumenintegrals über den divergenten Ausdruck div(...) erfordert Kenntnisse im Umgang mit der Dirac'schen Deltafunktion $\begin{eqnarray*} \delta(\vec r) \end{eqnarray*}$ (allgemeiner mit Distributionen), was ich hier nicht leisten kann.

Hmm. Jetzt habe ich so viel über die Dirac'sche Deltafunktion gelesen. Ich würde es schon gerne versuchen. Die Deltafunktion hat ja große Bedeutung in Physik und Mathematik, von daher wird sie mir vielleicht irgendwann begegnen.

Also die Herleitung der Beziehung: $\begin{eqnarray*} \text{div}\left (\tfrac{\vec r}{r^3}\right )=4\pi \cdot \delta (\vec r) \end{eqnarray*}$ ist z.B. zu finden auf der Seite der Uni Göttingen:
World Wide Web und lp.uni-goettingen.de/get/text/2079

Und jetzt definiert man sich: $\begin{eqnarray*} \delta (\vec r) := \delta (x) \cdot \delta (y) \cdot \delta (z) \end{eqnarray*}$

Falls meine Deltafunktion null ist, dann befindet sie sich auf meine Gebiet, falls nicht ist diese 1? Nun ist sie aber 1 und liefert das angegebene Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 4\pi \underbrace{\left (\int \delta (x)\,\,dx\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (y)\,\,dy\right )}_1\cdot \underbrace{\left (\int \delta (z)\,\,dz\right )}_1=4\pi \end{eqnarray*}$

Ich habe es jetzt so hingenommen, ganz klar ist jedoch nicht diese Definition:
$\begin{eqnarray*} \delta (\vec r) := \delta (x) \cdot \delta (y) \cdot \delta (z) \end{eqnarray*}$

Vielleicht könntest jemand mein anfängliches Delta-Distributionsabenteuer ein wenig abrunden?

Danke Ehos!

Grüße

Birgit

18.11.2016, 12:38

Biergit:P

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Hallo Ehos, hallo Rest der Welt,

ich wäre sehr dankbar für ein kleines Abrunden meiner Aussagen und ein ggf kleines Statement.

Grüße

Birgit

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