Umformungen mit Differentialoperator

09.11.2016, 16:04	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformungen mit Differentialoperator Warum gilt folgende Umformung: $\begin{eqnarray} \frac{d\omega}{\omega}=-\frac{d\lambda}{\lambda} \end{eqnarray}$ Es würde doch folgendes stehen ( $\begin{eqnarray} \omega=\frac{2\pi}{\lambda} \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \frac{d\omega}{\omega}=\frac{\lambda}{d\lambda} \end{eqnarray}$ Daher vermute ich, dass das Minus vom Kehrwert kommt. Ist das formal korrekt? Leider finde ich diesbezüglich keine Literatur (oder kenne halt den entsprechenden Suchbegriff nicht, um vernünftige Resultate zu erzielen). Vielen Dank!
10.11.2016, 10:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich existiert zwischen der Wellenlänge $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und der Kreisfrequenz $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ folgender Zusammenhang $\begin{eqnarray} \omega=\tfrac{2\pi}{\lambda} \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} \lambda\cdot \omega=2\pi \end{eqnarray}$ Die rechte Seite ist eine Konstante. Die Wellenlänge und die Kreisfrequenz betrachten wir als abhängig von irgendeiner Größe x, also $\begin{eqnarray} \lambda=\lambda(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega=\omega(x) \end{eqnarray}$ . Also ergibt Differenzieren nach x mittels Produktregel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\lambda}{dx}\cdot \omega+\lambda \cdot \tfrac{d\omega}{dx}=0 \end{eqnarray}$ Umstellen und Multiplizieren mit dem Differential dx ergibt die gewünschte Formel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\lambda}{\lambda}=-\tfrac{d\omega}{\omega} \end{eqnarray}$

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