ODE als Integralgleichung

09.11.2016, 16:36

integralODE

ODE als Integralgleichung

Meine Frage:
Würde gerne das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} \frac{d}{du}u(t,x)=f(u), u(0)=u_0 \end{eqnarray*}$ als eine Integralgleichung und damit als einen Operator schreiben.

Meine Ideen:
Also meine Idee ist erstmal: Äquivalent zum AWP ist, dass für fixiertes x

$\begin{eqnarray*} u(t,x)=u_0+\int_0^{t}f(u(s,x))\, ds \end{eqnarray*}$ , richtig?

Jetzt setze ich

$\begin{eqnarray*} (Fu)(t)=u_0+\int_0^{t}f(u(s,x))\, ds \end{eqnarray*}$

Dann ist u genau dann eine Lösung des AWP, wenn es Fixpunkt von F ist.

Könnte man F vom Raum der ein Mal differenzierbaren Funktionen auf diesen Raum abbilden lassen? Oder welchen Funktionenraum sollte man nehmen?

09.11.2016, 20:04

10001000Nick1

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RE: ODE als Integralgleichung
Erstmal etwas zur Notation:
Die Differentialgleichung müsste so aussehen: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d\textcolor{red}{t}}u(t,x)=f(u(t,x)), u(0)=u_0 \end{eqnarray*}$

Und dann hat die Funktion $\begin{eqnarray*} Fu \end{eqnarray*}$ wieder die gleichen Argumente $\begin{eqnarray*} (t,x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (Fu)(t\textcolor{red}{, x})=u_0+\int_0^{t}f(u(s,x))\, ds \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von integralODE
Oder welchen Funktionenraum sollte man nehmen?

Das kommt darauf an, was du später mit dem Operator $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ machen willst.

Das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sollte zumindest stetig sein. Und dann ist $\begin{eqnarray*} Fu \end{eqnarray*}$ differenzierbar, falls $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ stetig ist (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

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