Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus

09.11.2016, 20:10

Lats

Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Aff(n,K)/H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} GL(n,K) \end{eqnarray*}$ isomorph sind, wobei $\begin{eqnarray*} H = \{f: K^{n} --> K^{n}, x --> x+v\} \text{ v ist Element von } K^{n} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich wollte den Isomorphiesatz anwenden. Dafür muss ich erstmal zeigen, dass es einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \gamma : Aff(n,K) --> GL(n,K) \end{eqnarray*}$ gibt, und dass $\begin{eqnarray*} H\subset ker(\gamma ) \end{eqnarray*}$ . Und da liegt auch schon mein Problem. Ich finde den Gruppenhomomorphismus nicht.
Wenn mir jemand erklären könnte wie das geht, wäre ich echt dankbar.

10.11.2016, 08:53

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus
hallo,
welche form hat denn eine abbildung aus der affinen gruppe? Was bietet sich dann für den homomorphismus geradezu an? Augenzwinkern

Und wenn dir das nicht klar ist, lies dir bitte den wikipedia-artikel über affine gruppen durch.
gruss ollie3

11.11.2016, 12:53

Lats

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus
hallo, ich habe mir angeschaut, was du gesagt hast.

$\begin{eqnarray*} Aff(n,K) = \{f: x -> M*x+v\} \end{eqnarray*}$ wobei M aus Gl(n,K) ist und v ein Vekor ist. Könnte ich für den Gruppenhomomorphismus von Aff(n,K) nach Gl(n,K) einfach M*x+v (Element von Aff(n,K)) auf M (Element von Gl(n,K)) schicken? Wäre das ein Gruppenhomomorphismus? Und wenn ja, warum? Kannst Du mir das bitte erklären?
Mfg

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

13.11.2016, 08:06

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus
hallo!
ja, dein Vorschlag ist genau richtig, das ist dann tatsächlich ein Homomorphismus. Freude

Zunächst einmal bilden die affinen Abbildungen eine Gruppe, denn wenn man 2 affine
Abbildungen hintereinander ausführt, erhält man dann wieder eine affine Abbildung , und
Das funktioniert dann so, dass die neue Abbildungsmatrix das Produkt der alten abbildungsmatrizen
Ist, nur das der feste Vektor sich dann natürlich neu berechnet, und bei dem Homomorphismus
Fällt der feste Vektor ja weg.
Hier stimmen also alle Voraussetzungen, und die beiden Gruppen sind wirklich isomorph Augenzwinkern

gruss ollie3

13.11.2016, 12:55

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus

Zitat:

Original von Lats
Die Aufgabe lautet zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Aff(n,K)/H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} GL(n,K) \end{eqnarray*}$ isomorph sind, wobei
$\begin{eqnarray*} H = \{f: K^{n} --> K^{n}, x --> x+v\} \text{ v ist Element von } K^{n} \end{eqnarray*}$ .

Form ist auch wichtig. Anscheinend hat Ästhetik für sehr viele Leute keinen Stellenwert. Schreib besser:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Aff}(n,K)/H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(n,K) \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} H := \{f: K^{n}\to K^{n}, x \mapsto x+v\}, v\in K^{n} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Aff(n,K) nach GL(n,K) Homomorphismus

Verwandte Themen