Geeignete Transformation finden

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10.11.2016, 13:01	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
Geeignete Transformation finden Meine Frage: Finde jeweils eine geeignete Transformation, um das Integral $\begin{eqnarray} \int_{D} \! f \, d\lambda \end{eqnarray}$ zu berechnen: (a) $\begin{eqnarray} \! f(x,y) = 3x^{2} + 14xy+8y^{2} \end{eqnarray}$ , und D ist begrenzt durch die Geraden $\begin{eqnarray} y=-\frac{3}{2} x+1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=-\frac{3}{2} x+3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=-\frac{1}{4} x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=-\frac{1}{4} x+1 \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \! f(x,y) =e^{2x} y \end{eqnarray}$ , und D ist begrenzt durch die Kurven $\begin{eqnarray} y=e^{x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=2e^{x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=e^{-x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=2e^{-x} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hallo alle zusammen. Ich verstehe nicht ganz wie man vorgehen muss. Ich hab schon dieser Körper bzw. diese Fläche skizziert, und nun muss man das zu einem Rechteck transformieren, und neue Integrationsgrenzen zu bestimmen. Und genau hier hab ich das Problem. Vielen Dank
10.11.2016, 13:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Du musst die Tupel (x,y) in (s,t) transformieren. Zu a): Hier sollte auffallen, dass jeweils zwei der Begrenzungsgeraden parallel sind. Man kann also die Substitution $\begin{align} s=y+3/2x \end{align}$ versuchen. Eine andere Substution $\begin{align} t=? \end{align}$ analog. Hab das gerade ausgerechnet, es hebt sich damit glücklicherweise ein Haufen weg und das Integral bekommt Produktform.
10.11.2016, 14:12	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Wie kommt man darauf. Du hat x und y substituirt. Was hast du danach gemacht?
10.11.2016, 15:38	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Dann das Integral auswerten. Wenn du die Substitutionen vorgenommen hast, wirst du sehen, dass das Integral extrem einfach wird.
10.11.2016, 16:03	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Also ich ersetze $\begin{eqnarray} s=y+\frac{3}{2} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t=y+\frac{1}{4}x \end{eqnarray}$ dann bekomme ich Integrationsgrenzen 1 bis 3 und 0 bis 1 ( dass sind die Zahlen die übrig geblieben sind) und jetzt muss ich von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Jakobi Matrix aufstellen ?? (man muss hier nach s und nach t ableiten, aber in Gleichungen habe ich x und y) und dann Die Terminante davon ausrechnen. Oder bin ich ganz falsch?
10.11.2016, 16:38	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Aber das sind doch lineare Gleichungen . Da besteht die Jacobi-Matrix nur aus Konstanten, die Determinante also auch.
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10.11.2016, 16:45	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Dann verstehe ich nicht was man weiter machen soll.
10.11.2016, 16:47	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Variablentransformation (schon gemacht, muss nur noch nach x und y umgestellt werden, also x=..., y=...) -> neues Integral aufstellen mit Hilfe neuer Variablen und Jacobi-Matrix -> integrieren. Wie sieht denn deine Jacobi-Matrix aus? Und was ist die Determinante? Nimm am besten den Formeleditor, um die Matrix bzw. Determinante darzustellen. Da müssen dann nur noch die Zeilen- und Spaltenzahl angepasst werden.
10.11.2016, 18:29	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Da sind mehrere möglichkeiten nach x und y umstellen.
10.11.2016, 18:52	Erik123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Das hat mir leider nicht so viel geholfen. Vielleicht gibt es irgendwo ähnliche Beispiele? Wenn ich das ganze verfahren sehe, kann ich besser verstehen.
10.11.2016, 23:10	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geeignete Transformation finden Ich nehme mal an, dass ihr das in der Vorlesung lernt. Ansonsten gibt es viele Quellen im Netz.

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