Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen

10.11.2016, 14:01

lissy1234567

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Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Probleme mit diesen Aufgaben:

1. Sei F die Verteilungsfunktion einer reelwertigen ZV, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{+\infty } \! (F(x+c)-F(x)) \, dx =c \end{eqnarray*}$ , c reel und konstant.
2. Sei (X, A, mü) Maßraum, (fn) Folge nichtnegativer, messbarer reeller Funktionen auf X, die punktweise gegen f konvergieren, f:X -> R(reelle erweiterte Zahlengerade). Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \end{eqnarray*}$ mü[fn] = 7, dann ist auch f mü-integrierbar mit mü[f]=7.

Meine Ideen:
Also beim ersten mein ich total auf dem Schlauch zu stehen. Ich wollte zuerst F als Integral über f schreiben, also sprich über die Dichte, weiß aber nicht wie ich dann weiterkommen soll...

Beim Zweiten ist mir anschaulich (falls man das so sagen kann) klar, warum das gelten muss, aber ich habe dabei wirklich gar keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Jegliches googlen war umsonst..

Ich danke für eure Hilfe smile

smile

Grüße,
Lissy

10.11.2016, 15:27

1nstinct

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen

Zitat:

Ich wollte zuerst F als Integral über f schreiben, also sprich über die Dichte,

Mach das doch mal und fasse die Integrale zusammen. Mit Fubini folgt dann sofort die Behauptung.

10.11.2016, 15:33

lissy1234567

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen
Naja, ich hätte dann für F(x+c)-F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x+c} \! f(x) \, dx - \int_{0}^{x} \! f(x) \, dx = \int_{x}^{x+c} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ und genau da war dann mein Fehler, ich kann dann nämlich nach Fubini das Integral mit dem anderen Integral über R tauschen und habe dann $\begin{eqnarray*} \int_{x}^{x+c} \int_{-\infty }^{+\infty } \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , das innere ist dann 1 und Integral über 1 ist dann = x+c-x , richtig smile

smile

?

10.11.2016, 15:35

HAL 9000

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Zu 2) Was meinst du mit "mü[fn]" ? Soll das $\begin{align*} \mu[f_n] := \int f_n ~ \dd\mu \end{align*}$ bedeuten? verwirrt

verwirrt

Und was ist hier eigentlich die Aufgabenstellung: Ein Gegenbeispiel finden? Denn angesichts der genannten Voraussetzungen ist die Aussage falsch.

10.11.2016, 15:38

lissy1234567

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zu 2. Ja genau, das war gemeint...wusste nicht wie ich das schreiben kann unglücklich

unglücklich

Die Aufgabe ist die Aussage zu beweisen. Habe gerade gesehen, dass das [f] <= 7 sein soll und nicht = 7 ...die Aussage muss auf alle fälle stimmen verwirrt

verwirrt

10.11.2016, 15:39

1nstinct

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen
Die Idee passt, die Ausführung ist aber einfach falsch.
Beachte doch bitte folgendes:

1) $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ , warum sollten die Integrale dann bei 0 starten?

2) Du kannst doch nicht nach x integrieren, wenn deine Variable in der VF auch x ist.

3) Das Zusammenfassen der Integrale ist falsch.

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10.11.2016, 15:40

lissy1234567

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen
Habe meinen Beitrag eben editiert, so müsste es stimmen. Hab die Fehler bemerkt, in der Sekunde als du den 2. Beitrag verfasst hast Big Laugh

Big Laugh

10.11.2016, 15:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von lissy1234567
Habe gerade gesehen, dass das [f] <= 7 sein soll und nicht = 7

Was ja nun die Lage entscheidend verändert - in der Form folgt die Aussage aus dem Lemma von Fatou.

10.11.2016, 15:51

lissy1234567

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Hmm, und wie kann ich das dann zeigen, mit liminf und so? verwirrt

verwirrt

10.11.2016, 15:52

HAL 9000

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Der Beweis des Lemma von Fatou, so er dir nicht geläufig ist, steht weiter unten in dem Wikipediaeintrag.

10.11.2016, 15:55

lissy1234567

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Nene, der ist mir geläufig, aber ich meine wie die Aussage daraus folgt, wie kann ich das in Worte/ Zeichen fassen smile

smile

?

10.11.2016, 16:04

HAL 9000

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Also ehrlich, ist doch praktisch nur einsetzen ... Das Lemma von Fatou besagt

$\begin{align*} \int \liminf_{n\to\infty} f_n ~ \dd\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n ~ \dd\mu \end{align*}$ .

Wegen der in dieser Aufgabe gegebenen punktweisen Konvergenz gilt offenbar $\begin{align*} \liminf_{n\to\infty} f_n = \lim_{n\to\infty} f_n = f \end{align*}$ . Und rechts steht einfach aufgrund der gegebenen Integralwerte

$\begin{align*} \liminf_{n\to\infty} \int f_n ~ \dd\mu = \liminf_{n\to\infty} 7 = 7 \end{align*}$ .

10.11.2016, 16:36

1nstinct

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Ich hoffe dir ist klar, dass du bei Aufgabe 1) noch

Zitat:

1) $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ , warum sollten die Integrale dann bei 0 starten?
2) Du kannst doch nicht nach x integrieren, wenn deine Variable in der VF auch x ist.

beachten musst.

10.11.2016, 16:37

lissy1234567

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Ja, ich hab es inzwischen sauber hin bekommen und aufgeschrieben, vielen lieben dank smile

smile

11.11.2016, 13:28

lissy1234567

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Auch zur 2. Frage hab ich es hinbekommen, vielen Dank an euch Zwei smile

smile

11.11.2016, 17:54

Zündholz

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen
Hallo,
wenn ich noch eins anmerken darf: Bei der (1) sollte man (außer es steht in der Aufgabe irgendwo) nicht davon ausgehen, dass die Verteilung von X eine Dichte bezüglich Lebesgue-Maß besitzt. Allerdings kann man so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty F(x+c) - F(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{k = -N}^N \int_{k\cdot c}^{(k+1)\cdot c} F(x+c) - F(x) dx. \end{eqnarray*}$

Das ist eine Teleskopsumme und damit folgt die Behauptung aus den Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}F(x) = 0, \ \lim_{x \to +\infty}F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Schöne Grüße

12.11.2016, 11:48

lissy1234567

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RE: Verteilungsfunktion, Integral // Funktionenfolgen
Alles klar, danke! In der Aufgabe steht nichts, aber ich werde meinen Tutor nochmal fragen, ob man annehmen darf, dass f exisitert smile

smile

Hab gar nicht daran gedacht geschockt

geschockt

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