Integral berechnen mittels Taylor

10.11.2016, 16:59	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen mittels Taylor Hallo, Ich sollte eben $\begin{eqnarray} \int_0^\infty x\sin(x) dx \end{eqnarray}$ berechnen. Da ich keine gute Substitution gefunden habe dachte ich mir irgendwann: Wieso nicht Taylor nutzen um es zu approximiere. Somit: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty x\sin(x) dx=\int_0^infty x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{5!}+O(x^6)dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 - \frac{1}{7\cdot5!}x^7]_0^\infty + \int_0^\infty O(x^6)dx \end{eqnarray}$ Anscheinend hat das Integral was spezielles an sich, gut möglich dass ich die Tools dafür garnicht habe. Unabhängig davon: 1. Darf ich ein Integral mittels Taylor approximiere? 2. Wie würde man denn ein Integral im Stil von [latex]\int_0^\infty O(x^6)dx[/latex lösen?
10.11.2016, 17:15	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen mittels Taylor Warum so kompliziert? Eine Stammfunktion des Integranden läßt sich doch leicht mittels partieller Integration ermitteln. Dann wird sich genau herausstellen, ob das Integral existiert.
10.11.2016, 18:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Taylorapproximation = Polynom mit punktweiser Konvergenz, liefert nur was Sinnvolles innerhalb einem konkreten Intervall. Dann kann man auch integrieren. Oder gleich numerische Verfahren verwenden. So ist zwar $\begin{eqnarray} \sin(x) \approx x-\frac {x^3}{3!} \end{eqnarray}$ . aber auf keinen Fall für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ und was soll das uneigentliche Integral bei hier wird sich bestimmt kein Grenzwert finden lassen.
11.11.2016, 10:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie klauss bereits ausführte, bekommt man hier leicht eine Stammfunktion hin. Und selbst wenn das nicht gelingt: Die Divergenz dieses uneigentlichen Integrals ist ziemlich offensichtlich durch geeignete grobe Abschätzungen des Integranden.
11.11.2016, 11:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dopap Man muss recht vorsichtig sein. Zum Beispiel existiert das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^\infty x \sin (x^3) dx \end{eqnarray}$ , obwohl der Graph doch gewisse Ähnlichkeit besitzt.

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