Ungleichung mit Exponentialfunktion

11.11.2016, 09:42

NeilM

Ungleichung mit Exponentialfunktion

Meine Frage:
Ich habe Schwierigkeiten, die folgende Ungleichung zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{ \lceil n \log n + cn\rceil} \leq e^{-\frac{n \log n + cn}{n}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} c,n \end{eqnarray*}$ sind übrigens beliebige natürliche Zahlen.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n}\right)=e^x \end{eqnarray*}$
gilt. Mich verwirrt nur, dass in meinem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ quasi noch enthalten ist.

Ich habe bereits versucht, den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lceil n \log n + cn\rceil \end{eqnarray*}$ zu erweitern, damit ich die obige Formel verwenden kann. So richtig klappt das aber auch nicht.

Ich gehe davon aus, dass diese Ungleichung leicht zu zeigen ist, ich stehe nur leider auf dem Schlauch, und komme nicht weiter. Über jede Hilfe bin ich deshalb sehr dankbar!

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Antwortzähler wieder auf Null steht. Steffen

11.11.2016, 09:59

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion
1) Es ist $\begin{align*} e^x\geq 1+x \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ , speziell auch für $\begin{align*} x=-\frac{1}{n} \end{align*}$ .

2) Für $\begin{align*} 0<q<1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} q^r\leq q^s \end{align*}$ für alle $\begin{align*} r\geq s \end{align*}$ , das gilt speziell auch für $\begin{align*} q=e^{-\frac{1}{n}} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} s=n\log(n)+cn \end{align*}$ und $\begin{align*} r=\lceil s\rceil \end{align*}$ .

27.03.2021, 20:40

HiBee123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion

Zitat:

Ich weiß, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n}\right)=e^x \end{eqnarray*}$

wohl eher
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n)^x=e^x \end{eqnarray*}$
weil nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n}\right)=1 \end{eqnarray*}$
oder überseh ich was?

Erstaunt1

29.03.2021, 09:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion

Zitat:

Original von HiBee123
? verwirrt

wohl eher
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n)^x=e^x \end{eqnarray*}$
weil nämlich

Ja, du hast recht. Da hat HAL 9000 einen kleinen Lapsus übersehen. Gemeint war aber eher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n}\right)^n = e^x \end{eqnarray*}$

29.03.2021, 12:02

gast_free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^{[n\cdot ln(n)+c\cdot n]}\le e^{-\frac{n\cdot ln(n)+c\cdot n}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [n\cdot ln(n)+c\cdot n]\cdot ln(1-\frac{1}{n})\le {-\frac{n\cdot ln(n)+c\cdot n}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1-\frac{1}{n})\le {-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}\le e^{-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n}\le \frac{1}{e^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Spezialfall 1:
$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\le \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Reihe e-Funktion Abbruch viertes Glied.
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{n}}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}-\frac{1}{3!}\cdot \frac{1}{n^3}...\ge 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Argumentation:

$\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N/0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{k!}\cdot \frac{1}{n^k}|\ge |\frac{1}{(k+1)!}\cdot \frac{1}{n^{k+1}}| \end{eqnarray*}$

Die negativen Folgeglieder werden niemals die positiven Vorgänger Betragsmäßig überragen. Somiit bleibt die e-Funkktion immer größer als der Ausdruck 1-1/n.

Q.E.D

P.S.
Ich hoffe das mit log der natürliche Logarithmus gemeint war. Wenn nicht müsste man noch den Modulo-Faktor einbeziehen.

29.03.2021, 17:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, du hast recht. Da hat HAL 9000 einen kleinen Lapsus übersehen.

Sicher? Ich habe mich zu dem Fehler zwar nicht geäußert, ihn aber auch nicht übernommen. Und da der Fragesteller auf Nimmerwiedersehen verschwunden war, sah ich auch keinen Anlass für weitere Zeitverschwendung im Thread. smile

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung mit Exponentialfunktion

Verwandte Themen