Menge Abb(R,R) ein Ring?

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Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge Abb(R,R) ein Ring?
Meine Frage:
Hallo smile ,
ich bräuchte einmal Rat zu dieser Aufgabe.

a) Wir betrachten die Menge aller Abbildungen . Zeigen sie, das ein Ring mit punktweißer Addition und Multiplikation ist.

Meine Ideen:
Behauptung: ist ein Ring.

R1 ist abelsche Gruppe

1.Abgeschlossenheit:

Sei und
so ist auch , da die reellen Zahlen bzgl. Addition abgeschlossen sind un folglich dies auch für gilt.

2.Neutrales Element:




3.Inverse Elemente:

Die Inversen Elemente sind die jeweiligen Umkehrfunktionen.


4./5.Kommutativität und Assoziativität:

K. und A. sind für die reellen Zahlen bzgl. Addition bekannt und gelten folglich auch für .

R2 Die Verknüpfung auf erfüllt Assoziativität:

A. ist für die reellen Zahlen bzgl. Multiplikation bekannt und gilt folglich auch für .

R3 erfüllen Distributivgesetze:

Das Distributivgesetze für reelle Zahlen bzgl. ist auch bekannt, daher gilt für




Achso: es is en Ring.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

unangenehmer Schreibfehler: "punktweise" statt "punktweiße"
nachlässige Schreibfehler: es fehlen Klammern und Kommata

1. warum und wie geht das ?
2. was genau ist e ?
3. ist falsch
4./5./6. an mindestens einem Axiom musst Du beweisen, wie sich das Axiom von den reellen Zahlen auf die Abbildungen überträgt (vgl. 1.) Am besten schreibst Du das für jedes Axiom genau auf, dann wird glaubhaft, dass Du es verstanden hast.
 
 
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Frage auf Handy geschrieben, da kann Grammatik und Latex schon mal grausam sein.

1. Weil die reellen Zahlen "vollständig" sind?
2. Ich dachte
3. Die Inverse zu z.B. ist

Mein Buch "Algebra von Siegfried Bosch" kam übrigens diese Woche, die Beschreibungen da drin sind wirklich gut und anschaulich.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Übungsaufgaben sind dazu da, dass man denken und schreiben übt. Diese Aufgabe ist extrem leicht, daran kannst Du üben, damit Du irgendwann auch schwierige Aufgaben lösen kannst. Bis jetzt ist kein sinnvoller Ansatz zu erkennen.
Tipp: Beginne damit, dass Du dir klar machst, was punktweise Operationen von reellen Abbildungen mit reellen Zahlen zu tun haben.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

punktweise Addition heißt ja

und punktweise Multiplikation demnach

Für ersteres ist das neutrale Element, für letzteres .
Und sowohl als auch sind .
Aber ich sehe nicht, wie mir das irgendwas nützt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
punktweise Addition heißt ja

und punktweise Multiplikation demnach

Für ersteres ist das neutrale Element, für letzteres .


Wärst du ein fortgeschrittener Algebraiker, würde ich dir das abkaufen. So aber ...

Zitat:
Original von Felix1109
Und sowohl als auch sind .


Genau das ist das Problem. Was ist mit und hier gemeint?
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

und verwirrt ???
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da haben wir das Problem. Was ist eine Funktion ? Was ist eine Zahl ? Kann eine Funktion gleich einer Zahl sein ?
(Natürlich nicht ! Darüber musst Du nachdenken und dann etwas sinnvolles schreiben.)
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion sagt mir doch aber nur, das es zu einem ein passendes gibt. Also, zum Beispiel (1,0), (2,0), (3,0), ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Lernt man heute in der Schule nicht mehr, was eine Funktion ist ? Dann musst Du es ganz schnell an der Universität lernen ! Siehe Definition.
(Wir haben früher jahrelang Kurvendiskussionen gemacht.)
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist hier eine Beziehung oder auch Relation zwischen den Mengen und . Zahlen sind die Elemente dieser Mengen. Wobei die Fkt. jedem Element der einen Menge, ein Element der anderen Menge zuordnet.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eine Beziehung zwischen Mengen ? Ich glaube nicht, dass dein Professor Funktion so definiert hat.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben Relation oder auch Vorschrift definiert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
Die Funktion sagt mir doch aber nur, das es zu einem ein passendes gibt. Also, zum Beispiel (1,0), (2,0), (3,0), ...


Etwas unbeholfen geschrieben. Aber genau das ist es. Das neutrale Element der Addition in ist die Abbildung, die jede reelle Zahl auf die reelle Zahl abbildet. Also nicht die Zahl selbst. Nun ist es in der Algebra durchaus üblich, auch für diese Funktion das Zeichen zu verwenden - wenn man weiß, was man tut, und die Bedeutung des Zeichens im Kontext richtig versteht. Deswegen sprach ich in meinem ersten Beitrag von fortgeschrittenen Algebraikern. Für Anfänger empfehle ich, dafür ein anderes Zeichen zu verwenden, das Ähnlichkeit mit der besitzt, zum Beispiel das große griechische Theta:



Dieses ist das neutrale Element der Addition in .
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn ich jetzt in der Addition eine Funktion hätte, die z.B. die reelle Zahl 3 auf 5 abbildet, also .

Wäre das Inverse für diesen Fall dann , also die Funktion, die die reelle Zahl 3 auf -5 abbildet. Sprich ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@felix1109 und @Leopold

Das ist eine saubere Schreibweise, die als Grundlage einer Definition benutzt werden kann. Eine reelle reellwertige Definition ordnet jedem Element aus der Definitionsmenge genau eine Element aus der Wertemenge zu. Die Menge heißt Graph der Funktion , der Graph von ist eine Relation. Es genügt nicht, auf einzelne Paare zu sehen, man muss die ganze Funktion betrachten.

Von dieser Definition ausgehend kann man die Summe und das Produkt zweier Funktionen definieren, und dann die einzelnen Aussagen beweisen.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre für die Summe zweier Funktionen :



und das Produkt:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein. unglücklich

Ich definiere die beiden Funktionen und


Bitte definiere die beiden Funktionen und ("definieren" heißt nichts anderes als "ordentlich aufschreiben")
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »



Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Beispiel ?

Was soll denn bitte sein ? Hast Du vergessen, dass die Operationen der Funktionen punktweise definiert werden sollte ?
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme einmal unser von oben und eine beliebige Funktion . Dann gilt für jedes :



Die Funktionen und haben also

- denselben Definitionsbereich
- denselben Zielbereich
- dieselbe Wirkungsweise auf allen Elementen des Definitionsbereichs

Die ersten beiden Punkte habe ich der Vollständigkeit halber aufgeschrieben. Entscheidend ist hier der dritte Punkt. Haben zwei Funktionen auf allen Eingaben dieselbe Wirkungsweise, dann sind sie gleich. So ist die Gleichheit von Funktionen festgelegt. Erst jetzt können wir also sagen:



Es sind immer wieder die Quantoren, über die du stolperst. Hier ist es der Allquantor.

Eine Aussage gilt für Funktionen als ganze, also an und für sich, wenn sie beim Einsetzen von x-Werten für alle x-Werte gilt.

Ein Beispiel:







Hier gilt , jedoch . Und das, obwohl für "sehr viele" (!!) gilt: , aber eben nicht für alle.

Und vielleicht noch etwas: Beachte die verschiedenen Pluszeichen (Malzeichen). Auch wenn sie gleich aussehen, sie haben unterschiedliche Bedeutung. Ich markiere es einmal farbig:



Was ist , und was ist ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Felix1109

Ja, ohne Frage. das weißt Du doch schon lange. Zum Beispiel



Jetzt kannst Du anfangen, die Aufgabe zu bearbeiten.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

das rote + gehört zum Name der Funktion
das blaue + ist die Addition
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:
also hat das gestimmt?

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
das rote + gehört zum Name der Funktion
das blaue + ist die Addition


Das ist wieder so eine typische Felix1109-Antwort. Was da steht, ist nicht ganz falsch, beantwortet aber nicht die Frage und kommt schon gar nicht auf den Kern der Sache zu sprechen.

Um es gleich zu sagen, beide + kennzeichnen Additionen. Einfach deshalb, weil man in der Mathematik bei + immer von Addition spricht. Oder so gut wie immer - ich will mich da nicht für jeden abgelegenen Zweig der Mathematik verbürgen.

Die Frage, die du beantworten solltest, ist daher: Welche Addition wird mit dem Pluszeichen jeweils gekennzeichnet?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
@Elvis:
also hat das gestimmt?

?


Ja, das stimmt. Aber auch hier kannst du dir noch einmal die verschiedenen Pluszeichen klarmachen. Das Plus links ist ein anderes als das rechts.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

... ne typische Felix1109-Antwort -.-

das rote + ist die Addition von zwei Funktionen, die eine neue Funktion ergeben, in deren Name das + enthalten ist.

das blaue + ist die Addition von Elementen aus der Wertemenge
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim zweiten oder dritten Mal klappt's dann immer. Das ist der typische Felix1109-Stil. smile
Du würdest es den Helfern viel einfacher machen, immer schon beim ersten Mal die zielführende Antwort zu geben.

"in deren Name das + enthalten ist" - laß das weg. Das trägt nichts zur Sache bei und verunklart eher, als daß es zur Aufhellung beiträgt.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin wohl hier unter den Helfern schon als Problemkind bekannt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gerade die Problemkinder sind es doch, die die Erzieher herausfordern. Manchmal muß man sie trösten und ihnen Mut zusprechen. Und manchmal muß man sie vors Schienbein treten. Augenzwinkern
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mich für jede dumme Antwort die ich hier gebe vors Schienbein treten würde, säße ich schon längst im Rollstuhl unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann könntest du immer noch Finanzminister werden. Da schaden ein paar Mathematikkenntnisse nichts. Man muß sich allerdings nicht in Hilbert-Räumen auskennen, ein sicheres Auftreten im Raum der EU reicht.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will aber lieber das Mathestudium packen, sieht nur im Moment ziemlich düster für mich aus...
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das jetzt so einigermaßen? Ich hab jetzt erstmal nur R1 ((R,+) ist abelsche Gruppe) gemacht, für den Fall das wieder alles falsch ist.



G1 Abgeschlossenheit

Sei



So ist mit wieder ein Element von

G2 Neutrales Element



Sei , so gilt:

Somit muss eine Funktion sein, die alle reellen Zahlen auf Null abbildet, das heißt: mit



Demnach haben und den gleichen Definitionsbereich, Wertebereich und die gleiche Wirkung auf die Elemente des Definitionsbereiches. Also ist das Neutrale Element von

G3 Inverse Elemente

Für eine beliebige Funktion gilt, das inverse Element von ist .

Da: bzw. gilt.

G4 Assoziativität

Sei
So gilt:





G5 Kommutativität



Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei G3, G4, G5 schummelst Du wieder ein kleines bißchen, man kann es als Schreibfehler durchgehen lassen, aber es wäre wirklich besser, wenn du die vollkommene Perfektion anstreben würdest. Richtig falsch ist nichts mehr, aber bei G3 könntest Du die negative Funktion -f besser erläutern und bei G4 und G5 die letzten Kleinigkeiten verbessern. Dann erst glauben wir dir, dass Du es verstanden hast, denn gerade die kleinen Fehler entstehen oft nicht nur durch Unaufmerksamkeit sondern durch Unwissenheit.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

G3 Da liegt der Fehler ja anscheinend an meiner Erläuterung...

G4 , was aber aufgrund der Kommutativität der Addition gleich ist

, -siehe oben-

G5 auch wegen der Kommutativität der Addition
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

G5: Dass reelle Zahlen kommutieren, ist doch klar. Du willst beweisen, dass die Funktionen kommutieren, also musst Du schreiben


Deine Antworten sind immer noch zu kurz und undeutlich - nicht perfekt, bei weitem nicht.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

und bei G4 soll ich auch noch schreiben das aus
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das genügt nicht, Du solltest aus meinem Beispiel lernen, wie man Beweise führt und alle Teile deiner Antwort verbessern und korrigieren.
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