Beweis für Bijektivität der Umkehrabbildung

11.11.2016, 21:18

MelinaK*

Beweis für Bijektivität der Umkehrabbildung

Meine Frage:
Hallo in die Runde,

ich habe bei folgender Aufgabe ein bzw. einige Probleme und hoffe auf Hilfe (Sorry für die teils unleserliche Schrift, hab es mit dem latex nicht besser hinbekommen):

Es seien X, Y, Z nichtleere Mengen und f: X -> Y und g: Y -> Z bijektive Abbildungen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ^-1 = f
b) g o f ist bijektiv mit $\begin{eqnarray*} (g o f)^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
zu a)
Ich habe erst mal überlegt was zu zeigen ist:

1. $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv und
2. $\begin{eqnarray*} (f^{-1}) \end{eqnarray*}$ ^-1 = f

1. Da f bijektiv ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in X\exists !y\in Y \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ : Y -> X die Umkehrabbildung von f, dann gilt also: $\begin{eqnarray*} \forall y\in Y\exists !x\in X \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bijektiv. Ist das okay?

2. Sei ( $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ )^-1 die Inverse von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: ( $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ )^-1 o $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} id_{Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o ( $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ )^-1 = $\begin{eqnarray*} id_{X} \end{eqnarray*}$ .

Da f bijektiv ist, gilt außerdem: $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o f = $\begin{eqnarray*} id_{X} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} id_{X} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} id_{X} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o ( $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ )^-1 = $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o f.

=> ( $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ )^-1 = f

Kann man das so machen oder haut das nicht hin?

zu b)
Hier bin ich analog vorgegangen.

Zu zeigen ist:

1. g o f ist bijektiv
2. $\begin{eqnarray*} g o f^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$

1. Da f bijektiv, gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in X\exists !y\in Y \end{eqnarray*}$ .
Da g bijektiv, gilt: $\begin{eqnarray*} \forall y\in Y\exists !z\in Z \end{eqnarray*}$ .

Sei also $\begin{eqnarray*} (g o f)^{-1} \end{eqnarray*}$ die Inverse von g o f, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in X\exists !z\in Z \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} (g o f)^{-1} \end{eqnarray*}$ bijektiv. Selbe Frage: Ist das okay?

2. Hier habe ich dasselbe durchgespielt wie bei a) und komme dann irgendwan hier raus:

$\begin{eqnarray*} (g o f)^{-1} \end{eqnarray*}$ o (g o f) = $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ o f

Hier komme ich nicht weiter. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Lieben Dank und Gruß
Melina

12.11.2016, 22:09

MelinaK*

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Ich konnte das Problem inzwischen lösen. Thread kann also gelöscht / ignoriert werden.

Lieben Gruß
Melina

12.11.2016, 23:25

RavenOnJ

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RE: Beweis für Bijektivität der Umkehrabbildung

Zitat:

Original von MelinaK*
...
1. Da f bijektiv ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x\in X\exists !y\in Y \end{eqnarray*}$ .
...

Das hast du aber hoffentlich nicht bei dir stehen. 1) Die Rollen von x und y müssten vertauscht werden, 2) es fehlt die Aussage. Stattdessen müsste es heißen:
$\begin{align*} \forall y\in Y\exists !x\in X: y=f(x) \end{align*}$
Dies impliziert Injektivität und Surjektivität. Analoges gilt für den anschließenden Satz.

BTW: Threads werden hier nicht gelöscht und auch nur geschlossen, wenn es dafür bestimmte Gründe gibt. Dass der TE, den Thread zum Abschuss freigibt, da Problem gelöst oder inzwischen uninteressant, ist kein solcher Grund.

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