Orthogonale Matrizen, kongruent

12.11.2016, 00:09	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrizen, kongruent Hallo, Wie schauen die SYMMETRISCHE Matrix $\begin{eqnarray} S \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und der Vektor $\begin{eqnarray} T \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ aus wenn für alle orthogonale Matrizen $\begin{eqnarray} E \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ gelten soll: $\begin{eqnarray} ESE^T=S, ET=T \end{eqnarray}$ Meine Überlegungen dazu waren, dass S sicherlich eine Diagonalmatrix sein muss mit ihren Eigenwerten in der Diagonale wegen der Sigulärwertzerlegung. Kann man mehr über die Eigenwerte sagen(positiv,negativ,0er)? (Reell sind die da die Matrix symmetrisch ist.) Ich kann die Matrix bzw. den Vektor mit einigen othogonalen Matrizen multiplizieren und so sehen was die Einträge in S,T alles erfüllen müssen, aber so richtig zielführend war das noch nicht. Nehme ich als orthogonale Matrix E, die nur 1-er in der Gegendiagonale hat und sonst lauter 0er erhalte ich z.B.: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}t_1\\t_2 \\ \vdots \\t_n \end{array}\right)=E=ET=\left(\begin{array}{c}t_n\\t_{n-1} \\ \vdots \\t_1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Allgemein kann ich ja jede Permutationsmatrix für E hernehmen, also muss $\begin{eqnarray} T=\left(\begin{array}{c}t\\t\\ \vdots \\t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ nur aus gleichen Einträgen bestehen?
16.11.2016, 18:51	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen, kongruent Ist die Fragestellung unklar? Ich möchte gerne die Eigenwerte spezifizieren von A oder seine Gestalt, sodass die Matrix A symmetrisch ist und für alle orthogonale Matrizen E erfüllt ist: $\begin{eqnarray} E A E^T =A \end{eqnarray}$ Im obigen Post habe ich schon herausgefunden, dass A eine Diagonalmatrix sein muss und ihre Eigenwerte reell sind.
18.11.2016, 11:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen, kongruent $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist orthogonal(!) diagonalisierbar. Sind $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ normierte Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} E \in O(n) \end{eqnarray}$ mit dem man $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ drehen/spiegeln kann, i.e. $\begin{eqnarray} Ev = w \end{eqnarray}$ . Damit kann man leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lambda = \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ besitzt nur einen Eigenwert, d.h. es ist Vielfache der Einheitsmatrix. Das mit T stimmt.

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