Konvergenz oder Divergenz von Integralen

12.11.2016, 02:30

AndiStudent

Konvergenz oder Divergenz von Integralen

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{ln(1-x) }{x\sqrt{1-x} } \, dx \end{eqnarray*}$

Wie weise ich die Konvergenz oder Divergenz von diesem Integral nach. Wie kann ich das nach oben oder unten abschätzen??

12.11.2016, 10:46

Huggy

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RE: Konvergenz oder Divergenz von Integralen
Man sollte zuerst mal die kritischen Stellen des Integranden betrachten. Bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ hat man einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} 0/0 \end{eqnarray*}$ . Da kann man untersuchen, ob dieser einen endlichen Grenzwert hat (l'Hospital). Bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ divergiert der Integrand. Falls das Integral dort aber konvergiert, bietet sich die Suche nach einer Majorante an, nachdem man den Integrationsbereich aufgespalten hat. Eine Majorante findet man vielleicht leichter, wenn man vorher die Substitution

$\begin{eqnarray*} y=\ln (1-x) \end{eqnarray*}$

macht.

12.11.2016, 11:05

AndiStudent

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Für die stelle 0 komme ich nach auf den Grenzwert nach Ableiten auf den Term
2/((2-3 x) sqrt(1-x)) daraus folgt Grenzwert 1 . Ich hoffe das stimmt.
Wie mache ich das bei stelle 1. Kannst du mir das zeigen genau bitte?

12.11.2016, 11:21

Huggy

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Das Vorzeichen des Grenzwerts bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stimmt nicht.

Wenn du keine eigene Idee hast, folge doch meinem Vorschlag mit der Substitution. Es ergibt sich dann ein Integral mit den Grenzen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Das unterteilst du in

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^0=\int\limits_{-\infty}^c+\int\limits_c^0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du für das erste Integral eine Majorante suchen. Das zweite Integral existiert nach der vorigen Überlegung.

12.11.2016, 11:39

AndiStudent

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Es ist -1. Habe das Vorzeichen beim Nachdifferenzieren vergessen. Die Substitution kriege ich leider nicht hin. Kannst du sie mir zeigen verwirrt

12.11.2016, 13:16

Huggy

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Substituieren muss man können. Also versuch es mal. Fehler können wir korrigieren. Ich gebe dir mal Hilfestellung:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad y= \ln(1-x) \end{eqnarray*}$

Jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Integranden muss du mit Hilfe dieser Gleichung durch eine Funktion von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ersetzen. Den Zähler des Integranden kannst du direkt ersetzen. Aus (1) folgt:

$\begin{eqnarray*} (2) \quad 1-x = e^y \end{eqnarray*}$

Damit kannst du den Term unter der Wurzel ersetzen. (2) nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt die Ersetzung für das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Nenner. Bleibt noch das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ zu ersetzen und die Integrationsgrenzen zu ändern. Wie geht das?

12.11.2016, 17:02

AndiStudent

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dy= -1/(1-x) dx
Dann folgt
Integral von y(0) bis y(1) y/(x sqrt(e^y) )* (-dy/(1-x))

Irgendwie kriege ich das x nicht weg?

12.11.2016, 17:23

Huggy

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Kannst du nicht mal versuchen, die Formeln in Latex zu schreiben, zur Not mit Hilfe des Formeleditors.

Zitat:

Original von AndiStudent
dy= -1/(1-x) dx

Wenn du (2) nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst, kannst du das doch hier einsetzen.

Zitat:

Integral von y(0) bis y(1) y/(x sqrt(e^y) )* (-dy/(1-x))

Und das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Nenner ebenso. Außerdem müssen die Grenzen noch konkret umgerechnet werden.

12.11.2016, 20:00

AndiStudent

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{-y dy}{1-e^y\sqrt{e^y} e^y} \, <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wäre es so korrekt? und dann?

13.11.2016, 08:11

Huggy

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Da sind dir neben einer fehlenden Klammersetzung im Nenner noch Fehler unterlaufen. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} -\int\limits_{-\infty}^0 \frac {ye^y}{(1-e^y)\sqrt {e^y}}dy=-\int\limits_{-\infty}^0 \frac {ye^{y/2}}{1-e^y}dy \end{eqnarray*}$

Jetzt wie oben diskutiert das Integral aufspalten und in dem ersten Teilintegral den Nenner durch sein Minimum abschätzen, wodurch man eine Majorante enthält.

13.11.2016, 09:11

AndiStudent

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Wie wähle ich dann meine Integrationsgrenze??

Einfach allgemein c?
Kann ich dann im nenner einfach die 1 weglassen z.b für die Abschätzung?

13.11.2016, 17:15

Huggy

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Zitat:

Original von AndiStudent
Wie wähle ich dann meine Integrationsgrenze??

Einfach allgemein c?

Ja. Sie muss nur im Inneren des jetzigen Integrationsgebiets liegen.

Zitat:

Kann ich dann im nenner einfach die 1 weglassen z.b für die Abschätzung?

Nein. Mal dir mal den Nenner auf. Wo liegt sein Minimum im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty,c ] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2016, 18:13

AndiStudent

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Minimum wäre doch bei 0. Was sagt mir das dann?

14.11.2016, 08:30

Huggy

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Wie kommst du auf das Minimum 0? unglücklich

Auf solche Schnapsideen kommt man nur, wenn man sich nicht ernsthaft mit der Frage beschäftigt. Noch mal mein Vorschlag: Mal dir den Nenner auf und wähle dazu ein konkretes $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ . Wie das Minimum von c abhängt, erschließt sich dann von selbst.

14.11.2016, 09:36

AndiStudent

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Wäre dann das c das Minimum?

14.11.2016, 09:57

Huggy

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Quatsch oder nur schlecht formuliert?
Das Minimum ist nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Es liegt aber an der Position $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ .

14.11.2016, 10:00

AndiStudent

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Kann ich dann den Integranden wie folgt nach oben abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{y/2} y}{c} \end{eqnarray*}$

14.11.2016, 10:05

Huggy

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Nein!

Liest du überhaupt was ich schreibe? Ich zitiere mich selbst:

Zitat:

Das Minimum ist nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Es liegt aber an der Position $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ .

Wie lautet denn das bei $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ liegende Minimum des Nenners?

14.11.2016, 10:09

AndiStudent

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Ist es dann einfach 1-e^c im Nenner

14.11.2016, 10:11

Huggy

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Ja und damit kannst du den Integranden abschätzen.

14.11.2016, 10:14

AndiStudent

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Ich verstehe dann aber nicht, wie genau traurig

14.11.2016, 10:17

Huggy

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So, wie du es oben gemacht hast, nur dass da, wo du $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ hingeschrieben hattest, das Minimum hingehört.

14.11.2016, 10:24

AndiStudent

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Sorry ich stehe wirklich am Schlauch. Wie soll die Abschätzung aussehen ?

14.11.2016, 10:29

Huggy

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$\begin{eqnarray*} \left |\frac{e^{y/2} y}{1-e^y}\right | \leq \left |\frac{e^{y/2} y}{1-e^c}\right | \end{eqnarray*}$

14.11.2016, 10:33

AndiStudent

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und davon das Integral von -uendlich bis c konvergiert dann oder?

14.11.2016, 10:39

Huggy

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Das musst du natürlich noch zeigen. aber das ist leicht. Der Nenner ist jetzt eine Konstante und kann aus dem Integral gezogen werden. Zu dem verbleibenden Integranden kann man eine Stammfunktion angeben und durch Einsetzen der Grenzen zeigen, dass das bestimmte Integral existiert.

14.11.2016, 10:43

AndiStudent

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Danke huggy smile

Sorry, dass ich so lange gebraucht habe Big Laugh

14.11.2016, 10:48

Huggy

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Du musst dich viel konkreter mit den Dingen auseinandersetzen. ich glaube nicht, dass du je meinem Vorschlag gefolgt bist, dir den Nenner aufzumalen. Wenn man etwas im wörtlichen Sinne sieht, versteht man es oft viel besser als durch rein abstrakte Überlegungen. Und übe mal 10 - 15 Substitutionen bei Integralen. Die Technik sollte man im Schlaf beherrschen.

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