Summe Denkfehler

12.11.2016, 12:14

Grrrrrrrrr

Summe Denkfehler

Meine Frage:
Hallo, ich bearbeite gerade eine Aufgabe zum Thema Reihen und bin etwas verwirrt - ich sollte das Cauchyprodukt für x^n bilden, für cn kommen aber zwei unterschiedliche Varianten raus:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n} x^{k} x^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n} x^{n-k+k} = \sum\limits_{k=0}^{n} x^{n} =x^{n} \end{eqnarray*}$

Oder, wenn man direkt die Indizes einsetzt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n} x^{k} x^{n-k} = x^{n} +xx^{n-1} + x^{2} x^{n-2} + ... + x^{n-2} x^{2} +x^{n-1} x + x^{n} = nx^{n} \end{eqnarray*}$

... was ist denn jetzt richtig, x^n oder n*x^n und wo liegt mein Denkfehler??

Meine Ideen:
:/

12.11.2016, 12:31

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} x^{n} =x^{n} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du findest den Fehler Augenzwinkern

(Übrigens ist $\begin{eqnarray*} nx^n \end{eqnarray*}$ auch nicht richtig, du solltest nochmal nachzählen, wieviele Summanden du bei Variante 2 hast.)

12.11.2016, 12:34

Grrrrrr

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Ähm.
Naja, ich dachte, x^n wäre in dem Fall als Konstante zu betrachten, weil der Index k ja raus ist Hammer

Das ist anscheinend falsch ... :v

12.11.2016, 12:35

Guppi12

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Doch, das ist schon richtig, du darfst das $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ aus der Summe ziehen. Dann bleibt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n1 \end{eqnarray*}$ stehen. Und das soll $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

12.11.2016, 12:37

Grrrrrr

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Dachte ich ehrlich gesagt schon, weil ich ja kein k mehr habe, über das ich summieren kann.

Sind's bei der zweiten Variante n+1 Summanden?

Bin leider nicht so das Mathe-Ass Forum Kloppe

12.11.2016, 12:39

Grrrrrr

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Na gut, wenn ich keinen Summationsindex habe, summiere ich einfach n-mal auf.
Aber warum ist nx^n dann falsch?

12.11.2016, 12:44

Guppi12

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Zitat:

Sind's bei der zweiten Variante n+1 Summanden?

Ja.

Zitat:

Dachte ich ehrlich gesagt schon, weil ich ja kein k mehr habe, über das ich summieren kann.

Wir haben hier eine Summe mit mehreren Summanden (wieviele sind es genau?) und jeder der Summanden ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Ausgeschrieben sieht die Summe also so aus: $\begin{eqnarray*} 1+1+1+1+...+1 \end{eqnarray*}$ . Wie soll denn da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ herauskommen? Und was macht es für einen Unterschied, ob die Summanden konstant sind oder von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängen? Die Summe wird immer gleich ausgewertet.

Zitat:

Na gut, wenn ich keinen Summationsindex habe, summiere ich einfach n-mal auf.

Weil es nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden sind. Mach dir das klar, indem du zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt und die Summe explizit nach Definition auswertest.

12.11.2016, 12:51

Grrrrrr

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Okay, es sind n+1 Summanden, weil k=0 ist, deshalb ist das Ergebnis (n+1)x^n.
Dass man Konstanten aufsummiert, wusste ich tatsächlich nicht, ich war einfach davon ausgegangen, dass man das Summenzeichen dann einfach weglässt, weil man das beim Limes ja zum Beispiel auch tut, wenn die Variable raus ist.
Ich dachte, das Summenzeichen hätte ohne Index keinen Sinn, aber danke für die Aufklärung!

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