Mehrdimensionale Integrale Schnittmenge Zylindervolumen innerhalb Kugel

12.11.2016, 15:07	nelg	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Integrale Schnittmenge Zylindervolumen innerhalb Kugel Meine Frage: Hi liebe Community, meine Kommilitonen und ich hängen an folgender Aufgabe fest: Aufgabe: Berechnen Sie das Volumen der Menge gegeben durch: $\begin{eqnarray} E = {{(x,y,z) \in \mathbb R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 , x^{2} + y^{2} - 2x \leq 0 }} \end{eqnarray}$ Nutzen Sie dabei aus, dass E symmetrisch ist in Bezug auf die (x,y)-Ebene. Verwenden Sie für das entstehende zweidimensionale Integral Polarkoordinaten. Sie dürfen folgende Stammfunktion benutzen: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! r\sqrt{4-r^{2} } \, dr = \frac{1}{3}(4-r^{2})^{\frac{3}{2} } + C \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Unsere Vermutung: Die gesuchte Menge ist eine Kugel geschnitten mit einem Zylinder. Der Zylinder verläuft durch die rechte Kugelhälfte (berührt den Kugelmittelpunkt) und hat den Kugelradius als Durchmesser. Die Zylinderhöhe entspricht dem Kugeldurchmesser. Unser Problem sind die Integrationsgrenzen: Der Radius des Zylinders (r) geht ja von 0 bis zum Rand der Kreisscheibe: => $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq \sqrt{2x} = \sqrt{2rcos(\phi)} \end{eqnarray}$ Umfang des Zylinders geht von 0 bis 2Pi: => $\begin{eqnarray} 0 \leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ Höhe des Zylinders geht doch vom "unteren" Kugelrand bis zum oberen (Versteht ihr was ich meine?) also von $\begin{eqnarray} -\sqrt{4-r^{2}} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \sqrt{4-r^{2}} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} -\sqrt{4-r^{2}} \leq r \leq \sqrt{4-r^{2}} \end{eqnarray}$ Wenn wir das in das Integral $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! r \, dzdrd\phi \end{eqnarray}$ einsetzen und rechnen bekommen wir allerdings 1,59 als Ergebnis heraus, was unserer Ansicht nach nicht stimmen kann, da der Zylinder allein schon ein Volumen von 16Pi (~50,26) hat. Was haben wir falsch gemacht und was müssen wir als Integrationsgrenzen nehmen? Danke schon mal für eure Hilfe.
13.11.2016, 14:09	nelg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute, kann mir jemand bitte auf die Sprünge helfen?
13.11.2016, 17:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier wird eine leicht verallgemeinerte Situation behandelt. In deinem Fall ist $\begin{align} R=2 \end{align}$ . Zudem mußt du den dortigen Volumenwert noch verdoppeln, da bei deiner Aufgabe auch der untere Halbraum $\begin{align} z < 0 \end{align}$ berücksichtigt wird. EDIT Situationsbeschreibung vervollständigt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »