Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

12.11.2016, 15:43

complicated

Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Meine Frage:
Es soll bewiesen werden, dass
$\begin{eqnarray*} (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jetzt weiß ich leider nicht mal, wie ich anfangen soll das umzuschreiben.
Bei einfachen Mengenoperatoren würde man diese ja in $\begin{eqnarray*} \vee \wedge \end{eqnarray*}$ umschreiben und dann so lange umstellen, bis die rechte Seite erreicht ist.

Wie macht man das mit dem kart. Produkt?
Mit Paaren, zu (a,b):a?A,b?B usw.?

12.11.2016, 20:39

Math1986

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen
Der Klassische Ansatz:
Zeige
$\begin{eqnarray*} (a,b)\in(A \times B) \cap (C \times D)\Leftrightarrow (a,b)\in (A \cap C) \times (B \cap D) \end{eqnarray*}$

Fang mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\in(A \times B) \cap (C \times D) \end{eqnarray*}$ an. Wie kannst du da weiter umformen?

13.11.2016, 16:49

complicated

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Zitat:

Original von Math1986
Wie kannst du da weiter umformen?

Das ist ja meine eigentliche Frage. Wie kann man kart. P. umformen?

Hab jetzt im Skript diese Zeile gefunden (und leider sonst nichts)
$\begin{eqnarray*} A \times B = \left\{ x \in P(P(A\cup B))\right\} \end{eqnarray*}$

Also schätze ich, ich muss es mit Potenzmengen versuchen und diese dann umformen.

13.11.2016, 17:23

complicated

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen
Ahh, ich glaube jetzt hab ich es.
So müsste es gehen, oder?

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)| (x \in A \wedge y \in B) \wedge (x \in C \wedge y \in D) \right\} \end{eqnarray*}$

13.11.2016, 17:45

Math1986

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Zitat:

Original von complicated
Hab jetzt im Skript diese Zeile gefunden (und leider sonst nichts)
$\begin{eqnarray*} A \times B = \left\{ x \in P(P(A\cup B))\right\} \end{eqnarray*}$

Also schätze ich, ich muss es mit Potenzmengen versuchen und diese dann umformen.

Ich habe keine Ahnung, was Potenzmengen damit zu tun haben, du zitierst hier wahllos irgendwelche Formeln.

Grundsätzlich ist das kartesische Produkt wie folge definiert:
$\begin{eqnarray*} (a,b)\in A\times B\Leftrightarrow a\in A\land b\in B \end{eqnarray*}$

Wenn du dir nun $\begin{eqnarray*} (a,b)\in(A \times B) \cap (C \times D) \end{eqnarray*}$ anschaust, dann hast du zunächst die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ , wie kannst du die umformen? Danach so wie ich gerade schrieb.

13.11.2016, 17:45

Math1986

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Zitat:

Original von complicated
Ahh, ich glaube jetzt hab ich es.
So müsste es gehen, oder?

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)| (x \in A \wedge y \in B) \wedge (x \in C \wedge y \in D) \right\} \end{eqnarray*}$

Was soll das sein? Kannst du das mal näher ausführen?

13.11.2016, 18:01

complicated

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Zitat:

Original von Math1986
Was soll das sein? Kannst du das mal näher ausführen?

Ja so ist ja, wie du auch sagst, das kart. Produkt definiert und das ist es ausgeschrieben für beide Seiten, also
$\begin{eqnarray*} (x \in A \wedge y \in B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (A \times B) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (x \in C \wedge y \in D) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (C \times D) \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise (x,y)| wird so auf mathebibel(de) angegeben.

Oder muss es stattdessen irgendwie so geschrieben sein
$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)| (x \in A \wedge y \in B) \wedge (c,d)| (c \in C \wedge d \in D) \right\} \end{eqnarray*}$

Also jeweils andere Variablen für die zweite Hälfte und die muss ich dann umstellen?

13.11.2016, 18:16

Math1986

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RE: Kartesisches Produkt & Mengenoperatoren beweisen

Zitat:

Original von complicated

Zitat:

Original von Math1986
Was soll das sein? Kannst du das mal näher ausführen?

Okay, so ist es richtig.

Zitat:

Original von complicated
Oder muss es stattdessen irgendwie so geschrieben sein
$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)| (x \in A \wedge y \in B) \wedge (c,d)| (c \in C \wedge d \in D) \right\} \end{eqnarray*}$

Also jeweils andere Variablen für die zweite Hälfte und die muss ich dann umstellen?

Nein, dann eher $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)| (x \in A \wedge y \in B) \wedge (x \in C \wedge y \in D) \right\} \end{eqnarray*}$
Ich dachte eher daran, dass du ein paar mehr Zwischenschritte angibst, aber wenn deinem Korrektor das so reicht ist es ja gut. smile

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