Rechenregel beweisen

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12.11.2016, 16:40	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregel beweisen Guten Abend liebe Community. Ich habe folgende Aufgabe, welche mich seid einiger Zeit beschäftigt: Ich soll zeigen, dass die folgende Rechenregel nicht gültig ist : $\begin{eqnarray} \frac{1}{a+b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ Ich soll allerdings zeigen, dass genau diese Regel für jeden angeordneten Körper K gilt. Für alle $\begin{eqnarray} a,b\in K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,a+b \neq 0 \end{eqnarray}$ Als Hinweis wurde mir mitgegeben, dass ich die Gleichung so umformen soll, dass 0 gleich einer Summe von strikt positiven Elementen wird. Ich habe also versucht die Gleichung aufzulösen und bekam am Ende folgendes raus : Entweder $\begin{eqnarray} ab = 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 0 = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{b} - \frac{1}{a} . \end{eqnarray*}$ Allerdings ist in beiden, nennen wir es Lösungen, keine Summe von positiven Zahlen drin... Vielleich kann mir hier einer helfen. Gruß Prothanus, Herzlichen Dank im voraus.
12.11.2016, 16:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du versucht die Gleichung mit a+b zu multiplizieren?
13.11.2016, 14:39	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey, der Tipp war sehr hilfreich, Danke dir Allerdings steht nun folgendes dort : $\begin{eqnarray} 0= \frac{b^{2}+ a^{2}}{ab} +1 \end{eqnarray}$ Theoretisch könnte ich jetzt weiter umformen, dass $\begin{eqnarray} 0 = b^{2} + a^{2} + ab \end{eqnarray}$ ergibt. Jetzt hätte ich argumentiert, dass $\begin{eqnarray} a^{2} + b^{2} \geq ab \end{eqnarray}$ ist und daraus folgen würde, dass die Gleichung oben nur erfüllt wäre, wenn ab eine negative Zahl wäre, welche genauso groß wie die Summe von a² und b² ist. Soweit richtig ? Wenn ja, dann wird deutlich, dass $\begin{eqnarray} a^{2} + b^{2} > ab, b,a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit wäre die Behauptung ja wiederlegt, da die Gleichung nicht 0 werden kann
13.11.2016, 15:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal den Term auf zwei Arten darzustellen. Einmal mit der ersten und einmal mit der zweiten binomischen Formel.
13.11.2016, 16:39	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste binomische Formel lautet doch $\begin{eqnarray} (a+b)² = a²+b²+2ab \end{eqnarray}$ Mein Ergebnis ist allerdings $\begin{eqnarray} a²+b²+ab \end{eqnarray}$ Kann ich dann $\begin{eqnarray} 2a²+ 2b² +2ab \end{eqnarray}$ so darstellen : $\begin{eqnarray} 2a²+a²-a²+2b²-b²+b²+4ab-2ab \end{eqnarray}$ Daraus würde folgen, dass $\begin{eqnarray} 2(a+b)²+(a-b)²+(a+b)(a-b) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Aber was kann ich daraus folgern ? Oder wie meintest du das ?
13.11.2016, 16:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte eher $\begin{eqnarray} a²+b²+ab = (a+b)^2-ab \end{eqnarray}$ Man kann den Term $\begin{eqnarray} a²+b²+ab \end{eqnarray}$ aber auch durch die zweite binomische Formel ausdrücken. Nämlich?
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13.11.2016, 17:50	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a²+b²+ab = (a-b)²+3 ab \end{eqnarray}$ okey und deine Idee wäre es dann die beiden Terme gleichzusetzen ?
13.11.2016, 19:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du kannst aus beiden Darstellungen Rückschlüsse auf ab ziehen.
13.11.2016, 20:16	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a-b)² und (a+b)² \end{eqnarray}$ sind beide egal was passiert, positiv... und $\begin{eqnarray} 3ab \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} - ab \end{eqnarray}$ sind entweder Positiv oder negativ, je nachdem wie a oder b definiert sind... $\begin{eqnarray} 3ab \end{eqnarray}$ ist nur positiv wenn a und b positiv sind oder wenn sie beide negativ sind. Ist dies der Fall, ist $\begin{eqnarray} -ab \end{eqnarray}$ allerdings immer noch negativ. Meinst du das ?
13.11.2016, 21:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch die beiden Aussagen $\begin{eqnarray} 0= (a-b)²+3 ab \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 = (a+b)^2- ab \end{eqnarray}$ Umgeformt ergibt sich $\begin{eqnarray} ab = -\frac 13 (a-b)² = (a+b)^2 \end{eqnarray}$ Beachte die Vorzeichen der beiden Terme. Was muss demnach ab sein?
13.11.2016, 21:47	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Negativ und positiv gleichzeitig...
13.11.2016, 21:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das auch konkreter? Welche Zahl ist sowohl positiv als auch negativ?
13.11.2016, 22:03	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine Zahl, die positiv und negativ gleichzeitig ist. Zumindest nicht in einem geordneten Körper. Daher ist die Anfangsgleichung falsch.
13.11.2016, 22:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre mir jetzt neu. Es gibt wirklich keine einzige Zahl, die kein Inverses bzgl. der Addition besitzt?
13.11.2016, 22:23	Prothanus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja doch ,die 0 hat ja kein Inverses Element, aber die haben wir ja ausgeschlossen. Ansonsten gibt es nur Zahlen die Inverse Elemente der Addition haben...
13.11.2016, 22:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf läuft es ja gerade hinaus: Es ist notwendiger Weise a=b=0, was aber mit der Ausgangsleichung nicht vereinbar ist.

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