Polynom in irreduzible Faktoren Zerlegung

12.11.2016, 17:41	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in irreduzible Faktoren Zerlegung Hi, habe folgende Aufgabe: "Stelle fest ob folgendes Polynom reduzibel / irreduzibel ist über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray}$ . Geben sie auch die irreduziblen Faktoren an." Polynom: $\begin{eqnarray} x^{3}+x^{2}+x \end{eqnarray}$ Ich sehe natürlich sofort das ich x herausheben kann. $\begin{eqnarray} x(x^{2}+x+1) \end{eqnarray}$ Nun ist aber auch $\begin{eqnarray} x^{2}+x+1 \end{eqnarray}$ reduzibel. (Genau genommen bei 1 hab ich die Nullstelle) Okay, mögliche Polynome sind: x+1 x+2 2x+1 2x+2 x+1 und 2x+2 fliegen raus, da sie keine Nullstelle haben. x+2 und 2x+1 haben eine. Also schauen wir mal, was das gleiche ergibt: $\begin{eqnarray} <br /> (x+2)(x+2)<br /> x^{2}+2x+2x+4<br /> x^{2}+4x+4 (mod 3) <br /> x^{2}+x+1<br /> \end{eqnarray}$ Das ist das gleiche wie das "Ausgangspolynom" also ist (x+2)(x+2) eine richtige Lösung. Schauen wir uns das andere noch an: $\begin{eqnarray} <br /> (2x+1)(2x+1)<br /> 4x^{2}+2x+2x+1<br /> 4x^{2}+4x+1 (mod 3)<br /> x^{2}+x+1<br /> \end{eqnarray}$ Auch das ist das gleiche, handelt es sich also hier um 2 mögliche Lösungen oder biege ich wo verkehrt ab? Danke!

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