Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

12.11.2016, 22:52

cucumis

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Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Meine Frage:
Die Folge (an)n>1 sei rekursiv definiert durch
a1 = 1, a2 = 2, $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1.
Zeige oder widerlege: Die Folge (an)n>1 ist konvergent. Berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Meine Ideen:
Ich habe als erstes $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{8} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und festgestellt, das die Zahl immer kleiner wird mit Ausnahme von $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{4} \end{eqnarray*}$ . Ich vermute also, dass der Grenzwert gegen Null strebt, was ich mit der vollständigen Induktion beweisen möchte.
Und zwar lautet mein Induktionsansatz:
Für n $\begin{eqnarray*} \geq 5 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ .
Bis dahin ist alles logisch. Nun meinte mein Tutor jedoch ich muss hier 2mal Induktion anwenden , was ich nicht ganz verstehe. Mein erster IA ist n=5 und was genau soll ich bei der 2. Induktion machen?
Danke im voraus!

12.11.2016, 23:05

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Gemeint ist wohl, dass zweimal die Induktionsannahme verwendet werden muss. Poste doch mal deinen Beweis.

12.11.2016, 23:39

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ich merke auch gerade , dass ich mit der ersten Induktion nicht ganz weiter komme hehe..

Also , ich habs so gemacht :

Man soll beweisen : n $\begin{eqnarray*} \geq 5 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , dh.
IA: n = 5
$\begin{eqnarray*} a_{5} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{6} \end{eqnarray*}$
1,046 > 1,043 w.A.

IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich auch nicht ganz wie ich weiter machen soll...

12.11.2016, 23:45

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Fang mal an, $\begin{eqnarray*} a_{n+1}> a_{n+2} \end{eqnarray*}$ nach der Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ umzuformen, und dann die Induktionsannahme einzusetzen.

13.11.2016, 00:04

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ahh, ok.

Also ich habe jetzt :

IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich jir nicht genau sicher , aber dann habe ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ subtrahiert und kam dann auf :

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Also unsere Annahme war ja $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und logisch folgt daraus ja auch dass es eine w.A. ist , doch wie formuliere ich dass jetzt so um dass die Brüche weggehen?

13.11.2016, 00:59

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ah, bin ich blöd.
Ich meinte natürlich 2/3 ist ja größer als 1/2 und das führt ja wiederrum zu einem Widerspruch zur Annahme, oder nicht?

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13.11.2016, 01:02

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ach ich weiß nicht, ich bin gerade sehr verwirrt Hammer

Hammer

13.11.2016, 07:56

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
Ah, bin ich blöd.
Ich meinte natürlich 2/3 ist ja größer als 1/2 und das führt ja wiederrum zu einem Widerspruch zur Annahme, oder nicht?

Setz doch einfach mal die von dir bisher berechneten Werte ein, dann siehst du ja, ob es ein Widerspruch ist oder nicht.

13.11.2016, 07:58

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
Ahh, ok.

Also ich habe jetzt :

IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich jir nicht genau sicher , aber dann habe ich einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ subtrahiert und kam dann auf :

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ .

Bis dahin richtig. Nun musst du nochmals die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen wie oben und dann umformen

Latex korrigiert. Guppi12

13.11.2016, 10:24

HAL 9000

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Anmerkung
Der bloße Beweis der Monotonie hat einen Haken:

Man weiß dann zwar, dass der Grenzwert existiert (die Folge ist ja positiv und damit nach unten durch 0 beschränkt), kennt aber noch nicht den Grenzwert. D.h., zum Nachweis der Nullfolgeneigenschaft ist der reine Monotoniebeweis nicht ausreichend. unglücklich

unglücklich

Alternative: Man kann (ebenfalls per Vollständiger Induktion) auch nachweisen, dass die Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ durch eine geometrische Folge majorisiert wird, z.B. $\begin{align*} a_n\leq 3\cdot 0.9^n \end{align*}$ gültig für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ .

13.11.2016, 10:31

Math1986

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RE: Anmerkung

Zitat:

Original von HAL 9000
Man weiß dann zwar, dass der Grenzwert existiert (die Folge ist ja positiv und damit nach unten durch 0 beschränkt), kennt aber noch nicht den Grenzwert. D.h., zum Nachweis der Nullfolgeneigenschaft ist der reine Monotoniebeweis nicht ausreichend. unglücklich

unglücklich

Warum nicht ausreichend? Es wird doch die strenge Monotonie gezeigt. Ein echt positiver Grenzwert wäre dazu doch ein Widerspruch.

Nachtrag: Okay, hast Recht, Denkfehler meinerseits.

13.11.2016, 10:33

HAL 9000

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$\begin{align*} a_n = 1+\frac{1}{n} \end{align*}$ ist positiv und streng monoton fallend. Ist das eine Nullfolge? Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.11.2016, 10:33

Guppi12

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Was ist mit $\begin{eqnarray*} 1+\frac 1n \end{eqnarray*}$ ?

Alternativ zu dem Vorschlag von HAL könnte man nach dem Nachweis eines Grenzwertes auch die Grenzwertsätze bemühen. Dann wäre die Vorarbeit nicht umsonst.

13.11.2016, 10:43

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ehm ok, jetzt komme ich gar nicht mehr mit haha.
Also ist meine Induktion jetzt unbrauchbar?
Aber ich hätte trd nochmal eine Frage , du meintest

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

hier jetzt die Def. von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Meinst du damit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Wie genau soll ich das da einsetzen ?
Sorry, bin frischer Ersti im Mathestudium und checkt das alles noch nicht so ..

13.11.2016, 10:52

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
Also ist meine Induktion jetzt unbrauchbar?

Nein, es ist nur für den beweis der Konvergenz nicht ausreichend

Zitat:

Original von cucumi
Aber ich hätte trd nochmal eine Frage , du meintest

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

hier jetzt die Def. von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Meinst du damit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Nein, ich meine die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$
Hier einfach eine Indexverschiebung.

13.11.2016, 11:04

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Meinst du

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen ?

Aber am Ende kommt wieder eine Ungleichung nur diesmal mit $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ und [/latex] $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

13.11.2016, 11:05

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
Meinst du

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ einsetzen ?

Ja

smile

Zitat:

Original von cucumi
Aber am Ende kommt wieder eine Ungleichung nur diesmal mit $\begin{eqnarray*} a_{n-1}[/latex und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

Wie genau sieht diese Ungleichung aus?

13.11.2016, 11:07

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{7}{9} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

13.11.2016, 11:15

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \frac{7}{9} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

Nein, ich komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}a_{n-1} > \frac{5}{18}a_{n} \end{eqnarray*}$

Hier kannst du nun die Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} a_{n-1}>a_n \end{eqnarray*}$ drauf anwenden.

13.11.2016, 11:26

cucumi

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)
Ich hatte einen kleinen Schusselfehler hehe.. ABer danke ! Bin auf dieselbe Ungleichung gekommen und , wenn ich die Annahme jetzt annehme , dann bin ich doch fertig oder nicht ?

13.11.2016, 11:28

Math1986

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RE: Grenzwert einer rekursiven Folge (Induktion)

Zitat:

Original von cucumi
Ich hatte einen kleinen Schusselfehler hehe.. ABer danke ! Bin auf dieselbe Ungleichung gekommen und , wenn ich die Annahme jetzt annehme , dann bin ich doch fertig oder nicht ?

Schreib es nochmal ausführlich hin.

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