Galoisgruppe Symmetrische Gruppe S3 Zwischenkörper

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13.11.2016, 10:13	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe Symmetrische Gruppe S3 Zwischenkörper Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich gerade mit einer Lösung zu einer Körpererweiterungs-Aufgabe und verstehe da einen Teil der Aufgabe nicht. Ich kopiere nur den Teil der Aufgabe rein, der relevant ist, bzw. den ich nicht verstanden habe. Es wurde bereits festgestellt, dass die gesuchte Galoisgruppe isomorph ist zur symmetrischen Gruppe S3. Nun sollen die Zwischenkörper der Galoiserweiterung bestimmt werden, die über die Untergruppen der S3 bestimmt werden können. Dazu heißt es: "Die symmetrische Gruppe S3 hat Ordnung 6 und damit neben den trivialen Untergruppen, {id} und S3, Untergruppen der Ordnung 2 und 3. Untergruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. S3 hat drei Elemente der Ordnung 2, die drei Untergruppen der Ordnung 2 liefern, und zwei Elemente der Ordnung 3, die eine Untergruppe der Ordnung 3 liefern." Mir ist der Teil klar bis auf den letzten Satz. Warum liefern die zwei Elemente der Ordnung 3 in S3 nur EINE Untergruppe der Ordnung 3? Meine Ideen: Mir ist der Teil klar bis auf den letzten Satz. Warum liefern die zwei Elemente der Ordnung 3 in S3 nur EINE Untergruppe der Ordnung 3? Ich würde mich wirklich mega über eine Erklärung freuen (bitte eine möglichst einfache Erklärung und keine Anmerkungen wie "Das muss man wissen. Ist doch einfach." Ich bin leider in Algebra nicht so gut und langsam echt am Verzweifeln. Vielen Dank für Eure Hilfe!
13.11.2016, 10:30	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bei so was hilft es sich die konkrete Situation anzuschauen. Wie sieht denn die zyklische Gruppe der Ordnung 3 aus? Welche Ordnung haben denn die Elemente dieser Gruppe?
13.11.2016, 10:47	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tatmas, auf die Gefahr hin, dass ich mich total blamiere: die zyklische Gruppe der Ordnung 3 ist ja isomorph zu Z/3Z, welche nur die Elemente 0 mod 3, 1 mod 3 und 2 mod 3 enthält. Ich würde sagen, 0 mod 3 hat die Ordnung 1, 1 mod 3 hat die Ordnung 3 und 2 mod 3 hat auch Ordnung 3. Das ist falsch oder? Denn iwie sehe ich noch nicht, wie ich das auf die Aufgabe übertragen kann
13.11.2016, 10:53	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne das ist richtig. Wie viele Elemente der Ordnung 3 hast du denn jezt in der Gruppe?
13.11.2016, 11:03	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur 2 Elemente der Ordnung 3 oder? Ich versteh's leider immer noch nicht, sorry Also für Z/3Z hab ich 2 Elemente der Ordnung 3 und für Z/2Z hab ich ein Element der Ordnung 2, aber wie schließ ich da dann darauf, dass ich 3 Untergruppen der Ordnung 2 und eine Untergruppe der Ordnung 3 habe? Danke schon mal für deine Geduld
13.11.2016, 11:28	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zwei Untergruppen der Ordnung 3 hättest, wie viele Elemente der Ordnung drei hättest du?
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13.11.2016, 11:29	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hätte ich 4 Elemente der Ordnung 3
13.11.2016, 11:36	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
und das kann nicht sein, weil es in S3 nur 2 Elemente der Ordnung 3 gibt und eben nicht 4 oder schließe ich jetzt falsch?
13.11.2016, 11:37	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist jetzt noch irgendwas unklar?
13.11.2016, 11:40	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann keine 2 Untergruppen der Ordnung 3 haben, weil es in S3 nur 2 Elemente der Ordnung 3 gibt und eben nicht 4 und deswegen habe ich auch 3 Untergruppen oder Ordnung 2: Weil ich in Z/2Z nur ein Element der Ordnung 2 habe, in S3 gibt es aber 3 Elemente der Ordnung 2, also brauche ich 3 Untergruppen? Stimmt das so?
13.11.2016, 11:41	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
13.11.2016, 11:43	Cari_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Tausend Dank!!!!!!!! Vielen Dank für deine Hilfe. Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag

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