Entwicklung Legendrepolynome

13.11.2016, 13:19	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Entwicklung Legendrepolynome Hallo zusammen, wir beschäftigen uns momentan mit Legendrepolynomen und es gilt das man jede quadratintegrable und damit auch Lebesgue integrable Funktion nach den Legendrepolynomen im Intervall $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ entwickeln kann. Es gilt $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm} \end{eqnarray}$ wir sollen nun zeigen das für die Entwicklungskoeffizienten $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} c_n=\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^1f(x)P_n(x)dx \end{eqnarray}$ Meine Idee: Für die Legendrepolynome gilt erstmal $\begin{eqnarray} P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n] \end{eqnarray}$ Setze ich $\begin{eqnarray} n=m \end{eqnarray}$ so erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1P_n(x)\cdot P_n(x)=\frac{2}{2n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}P_n(x)\cdot P_n(x)dx=1 \end{eqnarray}$ Ich dachte nun daran beide Seiten mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ zu multiplizieren und durch $\begin{eqnarray} P_n(x) \end{eqnarray}$ zu dividieren. Dann würde ich erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)P_n(x)dx=\frac{f(x)}{P_n(x)} \end{eqnarray}$ Darf ich das und falls ja demnach wäre $\begin{eqnarray} c_n=\frac{f(x)}{P_n(x)} \end{eqnarray}$ ... ? Hat jemand einen Tipp? Vielen Dank!
14.11.2016, 21:11	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es hinbekommen. Falls interesse an der Lösung besteht würde ich diese posten. Viele Grüße!

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